[湖北省队互测2014]一个人的数论
[湖北省队互测2014]一个人的数论
给定 \(n,d\)，计算 \(f_d(n)\)
其中 \(f_d(n)\) 为 \([1,n]\) 中所有与 \(n\) 互质的数的 \(d\) 次幂之和。
由于 \(n\) 非常大，所以给出其因式分解式，\(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...\)，保证分解后的项数至多为 \(10^3\)，\(p,a\le 10^9\) 且 \(p\) 均为质数。
\(d\le 100,w\le 10^3\)
\(\rm Sol:\)
答案是：
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^n [\gcd(i,n)=1]\times i^d
\\&=\sum_{i=1}^n \sum_{t|n,t|i} \mu(t)\times i^d
\\&=\sum_{t|n} \mu(t)t^d\times S(\frac{n}{t})
\end{aligned}\]
对于自然数幂和，通过伯努利多项式展开：
\[\begin{aligned}
&\sum_{t|n} \mu(t)t^d\times S(\frac{n}{t})
\\&=\sum_{t|n}\mu(t)t^d\times \sum_{j=0}^{d+1} f_j\times (\frac{n}{t})^j
\\&=\sum_{j=0}^{d+1} f_j\times n^j \sum_{t|n} \mu(t)\times t^{d-j}
\end{aligned}\]
注意到 \(n\) 的给出为因式分解形式，\(\mu(t)\ne 0\) 当且仅当每个质数出现且仅出现一次。
枚举 \(j\)，统计答案只需要统计 \(t^{d-j}\)，每个元素相当于一个多项式 \((1-t^{d-j})\)，直接算即可？
复杂度是 \(\mathcal O(d\times w+d^2)\)，直接伯努利数他不香吗。。。
