NOI2016 王国饮水记
NOI2016 王国饮水记
如何不写斜优/决策单调性，用暴力通过此题。。（大雾）
首先我们只需要考虑 \(h_i>h_1\) 的点。
然后考虑 \(K\) 足够大的点，我们手玩一段时间，发现将这些剩余点保留下来并排序，最优决策一定是将他们依次和 \(1\) 联通。
比如样例中的 \(1,3,4\)，假设可以操作 \(2\) 次及以上，那么最优决策一定是依次连接 \(1,3\) 得到 \(2\)，然后连接 \(2,4\) 得到 \(3\)
对于 \(K\) 并非足够大的点，先将剩余点从小到大排序，不难发现每次的连通操作必然是将 \(1\) 和一段区间 \([l,r]\) 联通，同时不存在一个点被连两次（显然不优）
感性上理解大概可以通过调整法，知道这个性质之后我们可以写一个 Dp 了：（方便起见，下文的 \(h\) 数组是仅保留大于 \(h_1\) 的元素且已经排好序，下标从 \(2\) 开始的数组，而 \(S\) 为其前缀和）
设 \(f_{i,j}\) 表示考虑到 \([2,i]\)，操作了 \(j\) 次的最优解，那么转移形如 \(f_{i,j}=(f_{k,j-1}+S_i-S_k)/(i-k+1)\)
然而要进行高精度小数运算，我们得到了一个 \(\mathcal O(n^2Kp)\) 的做法，非常幸运的是他可以过 \(n\le 100\) 的测试点。
然后我们将最优决策打个表，会发现大概是这样的例子（以样例 \(3\) 为例）
[100, 100]
[99, 99]
[98, 98]
...
[65, 66]
[62, 64]
[50, 61]
然后发现好像长度不是 \(1\) 的区间非常少？而且决策应该是从某个位置开始的后缀，都会被选中。
我们大胆猜测长度不为 \(1\) 的区间只有 \(\log\) 个（实际上是调参之后知道的），于是 Dp 的第二个维度可以降低成 \(\log\)，便得到了一个 \(\mathcal O(n^2\log np)\) 的做法。（大概是预处理 Dp 数组，然后枚举之前用了多少次，然后剩余部分一直除以 \(2\)）
然后造一点随机数据，继续打表，然后发现最大的区间的长度也很小？
于是转移的时候 \(k\) 的枚举量不需要到 \([1,i]\)，只需要到 \([i-c,i]\) 即可，\(c\) 为一个常数。
于是得到了一个 \(\mathcal O(n\log n\times c\cdot p)\) 的做法。
然后我们发现，之所以需要高精度小数，是因为我们经常除以 \(x\)，而且除以次数高达 \(K\) 次，然而如果只考虑预处理部分的 \(O(n\log n\times c)\) 的 Dp，我们发现我们只会除以 \(\log\) 次，换而言之没有必要用高精度小数。。。
于是这个部分用 long double 把答案存下来来比较（当然误差很大但是不影响），然后我们将决策点记录下来，最后还原答案的时候通过高精度实现即可。
最终复杂度是 \(\mathcal O(n\log n\times p+n\log n\times c)\)，跑得非常快，我的 \(c\) 设的是 \(100\)，是可以通过的。
正常的做法应该是考虑：
对于每个点 \(j\) 和 \(k\) 我们将其视为 \((j-1,dp_j-S_j)\)，那么不难发现这个是最大的 \((i,S_i)\) 与点集 \(S\) 中的斜率最大值。
可以三分交点解决。
