清华集训 2014 主旋律

给定一张 \(n\) 个点，\(m\) 条边的图 \(G\)，计算他有多少个子图满足其强连通。答案对 \(10^9+7\) 取模。

\(n\le 15,m\le \frac{n(n-1)}{2}\)

\(\rm Sol:\)

感觉是开启了 DAG 计数/图计数 的先河？

先考虑一个暴力做法，注意到子图 \(G'\) 是强连通图当且仅当缩点后有且仅有一个点。

反之其为 DAG，那么考虑计算图的总数减去缩点后是 DAG 的图的数量。

那么先考虑 DAG 计数。

设 \(f_S\) 表示点集 \(S\) 的 DAG 生成子图的数量，那么考虑：

\[\sum_{T\subseteq S,T\ne \varnothing} f_T\times 2^{cnt_{T,S-T}} \]

不难发现其算重了，\(f_T\times 2^{cnt_{T,S-T}}\) 的真实含义为度数为 \(0\) 的点集至少为 \(T\) 的方案数。

于是可以使用容斥原理改写 DAG 计数：

\[f_S=\sum_{T\subseteq S,T\ne \varnothing} (-1)^{|T|+1}f_T\times 2^{cnt_{T,S-T}} \]

接下来考虑强联通图计数，设 \(g_S\) 表示图 \(S\) 为强连通图的方案数，那么缩点为 DAG 即存在度为 \(0\) 点，那么不妨设 \(H_{k,T}\) 表示点集 \(T\) 的点构成 \(k\) 张强联通子图的方案数，且这些子图互不相交。

不难得到：

\[g_S=2^{cnt_{S}}-\sum_{T\subseteq S,T\ne \varnothing}\sum_k (-1)^{k+1}H_{k,T}\times 2^{cnt_{T,S-T}}\times 2^{cnt_{T-S}} \]

不难发现 \(H_{k,T}\) 其实与 \(k\) 的具体值无关，只关乎 \(T\) 模 \(2\) 的值，于是设 \(G_{T}\) 表示将图 \(T\) 拆成奇数个强连通块的方案数，\(H_{T}\) 表示将图 \(T\) 拆成偶数个强连通块的方案数，于是有：

\[g_S=2^{cnt_S}-\sum_{T\subseteq S}(G_T-H_T)\times 2^{cnt_{T,S-T}}\times 2^{cnt_{T-S}} \]

\[G_S=\sum_{T\subseteq S} H_{S-T}\times g_{T} \]

\[H_S=\sum_{T\subseteq S} G_{S-T}\times g_{T} \]

问题瓶颈在于求解 \(2^{cnt_{T,S-T}}\)，可以考虑枚举 \(S\)，然后枚举 \(T\) 同时沿途计算 \(cnt_{T,S-T}\)

考虑预处理 \(cnt_{x,S}\) 即某个点到集合 \(S\) 的边数，那么就可以枚举 \(S\)，然后在枚举 \(T\) 的时候顺便将 \(cnt_{T,S-T}\) 给算出来了。复杂度是 \(\mathcal O(n^22^n+3^n)\)

如果保证图为无向图，那么可以借助 FWT 和 \(cnt_{T,S-T}=cnt_{S}-cnt_{T}-cnt_{S-T}\) 来进行子集 dp，复杂度可以做到 \(\mathcal O(n^22^n)\)

具体：

设 \(g_S'=\sum_{T\subseteq S}(G_T-H_T)\times 2^{cnt_{T,S-T}}\times 2^{cnt_{T-S}}\)

\[\frac{g_S'}{2^{cnt_S}}=\sum_{T\subseteq S} \frac{h_T}{2^{cnt_T}}\times \frac{1}{4^{cnt_{T-S}}} \]

于是就可以直接做了。