Comet OJ Round11E ffort
题面描述
给定 \(n\) 种变量，每种变量有 \(a_i\) 个，每个变量的取值为 \([1,b_i]\)，对于每个方案，记 \(S\) 为其和，然后将 \(S\) 分配给 \(m\) 个初始为 \(0\) 的变量，需要保证每一个都大于 \(0\)，求方案数。答案对 \(998244353\) 取模。
\(n\times m\le 10^5,a_i\le 10^5,b_i\in [1,998244352]\)
\(\rm Sol:\)
大概是兔队的做法，这个题太仙了，我直接膜拜兔队。
对于某个 \(S\)，答案分成两个部分，第一部分是得到 \(S\) 的方案数，第二个是将 \(S\) 分配下去的方案数。
对于第二部分，不难列生成函数得到答案为 \(\frac{1}{(1-x)^m}[x^{S-m}]=\binom{S-1}{m-1}\)
设 \(G\) 为第一部分答案的生成函数，那么答案即：
方便起见，令 \(m=m-1\)，于是答案可以写为：
即：
这是注意到 \(G(x)\) 没有常数项，因为每个子函数都是 \(x+x^2+...\)
考虑 \(f(x)=a\times x^k\) 的 \(m\) 阶导，结果为 \(k^{\underline{m}}\times a\times x^{k-m}\)，所以不难发现答案即 \(\frac{1}{m!}\times G^{(m)}(1)\)
接下来对于每个 \(i\) 列得一个生成函数，同时设 \(F(x)=\prod f_i(x)^{a_i}\)，那么考虑 \(F^{(m)}(x)\)，其中 \(f_0(x)=\frac{1}{x}\)
- 根据乘法法则 \((f\cdot g)'=f'g+fg'\)
- 考虑连续使用乘法法则，观察发现 \((f\cdot g\cdot h)'=f'gh+fg'h+fgh'\)，不难发现等价于乘法法则生效一次后不生效，或者从最外层开始剥？
- 本质上乘法法则类似于 01 背包的模型，当某个 \(i\) 被求一次导之后其他元素不需要额外求导，配合加法法则，我们不难看出对于连乘求 \(m\) 阶导可以视为这样的一个流程：
- 每轮选一个元素 \(f\)，将其求一次导，对于所有方案求导得到的 \(f\) 序列相乘然后加起来。
- 于是有 \(F^{(m)}(x)=\sum_{c_1,c_2...c_n} \frac{m!}{c_1!c_2!...c_n!}[c_1+c_2+...+c_n=m] \prod f_i^{(c_i)}\)
- 也可以从生成函数的角度来理解，增添一个辅助变量 \(z\)，那么答案即：
这样可以考虑对于每个 \(i\) 列得一个长度为 \(\mathcal O(m)\) 的生成函数，然后计算其 \(a_i\) 次幂的卷积和即可。
我们唯一的问题是计算 \(f_i^c(1)\)，不难注意到：
对于 \(c=0\)，有 \(f_i^{(0)}(1)=b_i\)
对于 \(c=k\)，有 \(f_i^{(k)}(1)=\sum_{j\ge k}^m j^{\underline{k}}\)
所以计算的和本质上是 \(\sum_{j=1}^{m}j^{\underline{k}}\)，对于 \(k\ge 1\)，注意到 \(j^{\underline{k}}=\frac{(j+1)^{\underline{k+1}}-j^{\underline{k+1}}}{k+1}\)
所以 \(\sum_{j=1}^{b_i} j^{\underline{k}}=\frac{1}{k+1}\sum_{j=1}^m (j+1)^{\underline{k+1}}-j^{\underline{k+1}}=\frac{(b_i+1)^{\underline{k+1}}}{k+1}\)
对于 \(i=0\)，\(f(x)=\frac{1}{x}\)，于是 \(f^{(k)}(x)=(-1)^k k!\)，所以 \(\frac{f^{(k)}(1)}{k!}=(-1)^K\)，这样暴力做 \(n\) 次卷积，每次 \(\mathcal O(m\log m)\) 的处理，视快速幂是否写 \(\exp\&\ln\) 复杂度为 \(\mathcal O(nm\log m)/O(nm\log m\log a)\)
于是这个神仙题也就做完了。
\(Code:\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
#define Next( i, x ) for( register int i = head[x]; i; i = e[i].next )
#define rep( i, s, t ) for( register int i = (s); i <= (t); ++ i )
#define drep( i, s, t ) for( register int i = (t); i >= (s); -- i )
#define re register
#define int long long
int gi() {
char cc = getchar() ; int cn = 0, flus = 1 ;
while( cc < '0' || cc > '9' ) { if( cc == '-' ) flus = - flus ; cc = getchar() ; }
while( cc >= '0' && cc <= '9' ) cn = cn * 10 + cc - '0', cc = getchar() ;
return cn * flus ;
}
const int P = 998244353 ;
const int Gi = 332748118 ;
const int G = 3 ;
const int N = 6e5 + 5 ;
int n, m, limit, Inv, L, iv[N], inv[N], A[N], B[N], f[N], R[N], Ans[N] ;
int fpow(int x, int k) {
int ans = 1, base = x ;
while(k) {
if(k & 1) ans = ans * base % P ;
base = base * base % P, k >>= 1 ;
} return ans ;
}
void init(int x) {
limit = 1, L = 0 ; while( limit < x ) limit <<= 1, ++ L ;
for(re int i = 0; i < limit; ++ i) R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1)) ;
Inv = fpow( limit, P - 2 ) ;
}
void NTT(int *a, int type) {
for(re int i = 0; i < limit; ++ i) if(R[i] > i) swap(a[i], a[R[i]]) ;
for(re int k = 1; k < limit; k <<= 1 ) {
int d = fpow((type == 1) ? G : Gi, (P - 1) / (k << 1) ) ;
for(re int i = 0; i < limit; i += (k << 1) )
for(re int j = i, g = 1; j < i + k; ++ j, g = g * d % P ) {
int nx = a[j], ny = a[j + k] * g % P ;
a[j] = (nx + ny) % P, a[j + k] = (nx - ny + P) % P ;
}
} if( !type ) rep( i, 0, limit ) a[i] = a[i] * Inv % P ;
}
int _Hx[N], _Base[N], Base[N] ;
void Fpow(int k) {
_Hx[0] = 1 ; rep( i, 0, m ) Base[i] = f[i] ;
while(k) {
rep( i, 0, m ) _Base[i] = Base[i] ; NTT(_Base, 1) ;
if(k & 1) {
NTT(_Hx, 1) ; rep( i, 0, limit ) _Hx[i] = _Hx[i] * _Base[i] % P ;
NTT(_Hx, 0) ; rep( i, m + 1, limit ) _Hx[i] = 0 ;
}
rep( i, 0, limit ) _Base[i] = _Base[i] * _Base[i] % P ;
NTT(_Base, 0) ;
rep( i, 0, m ) Base[i] = _Base[i] ;
rep( i, 0, limit ) _Base[i] = 0 ; k >>= 1 ;
}
rep( i, 0, m ) f[i] = _Hx[i] ;
rep( i, 0, limit ) Base[i] = _Base[i] = _Hx[i] = 0 ;
}
signed main()
{
m = gi() - 1, n = gi() ;
rep( i, 1, n ) A[i] = gi(), B[i] = gi() ; inv[0] = iv[0] = 1 ;
rep( i, 1, m + 10 )
iv[i] = fpow( i, P - 2 ), inv[i] = inv[i - 1] * iv[i] % P ;
init(m + m + 5) ;
rep( i, 0, m ) Ans[i] = (i & 1) ? P - 1 : 1 ;
rep( i, 1, n ) {
f[0] = B[i] ; int t = (B[i] + 1) % P ;
rep( k, 1, m )
t = t * (B[i] - k + 1) % P,
f[k] = iv[k + 1] * t % P * inv[k] % P ;
Fpow(A[i]), NTT(f, 1), NTT(Ans, 1) ;
rep( k, 0, limit ) Ans[k] = Ans[k] * f[k] % P ;
NTT(Ans, 0) ; rep( k, m + 1, limit ) Ans[k] = 0 ;
rep( k, 0, limit ) f[k] = 0 ;
}
printf("%lld\n", Ans[m] % P ) ;
return 0 ;
}
