Graph Theory-图的存储与遍历

Graph Theory

Intro

图是计算机科学中一种常用的数据结构，用来表示对象和对象之间的关系，直观上我们用圆点来表示对象，点之间的边表示对象之间的关系。我们将一张图 G 记作\(G = (V,E)\),其中 \(V\) 是点集(Vertex），\(E\) 是边集(Edge）,一条从点 u 指向点 v的边表示为 \(e(u,v)\).

根据边是否有向，图可以分为有向图和无向图，比如，在一群人之间的互为朋友关系，就可以抽象成一张无向图，其中人是顶点，互为朋友的两个人之间存在一条无向边，而例如高速公路上的几个服务站，抽象成一张图就是有向图(这里只考虑了一个边的路)，服务站就是顶点，连接它们的路是有向边。

同时，边还可以带有权重，来反映某种代价，例如，在几个城市之间要修建公路，问怎样修使得总长最短，这时距离，或者花费，就可以作为权重考虑进来。

图的存储

树是无环连通图，因此是一种特殊的图，图分为有向图和无向图，无向图是一种特殊的有向图(连两条有向边)，因此我们下面只讨论有向图，其他可以推而广之。

有向图的存储有两种方式：邻接表和邻接矩阵。
其中，稠密图(\(m\) ~ \(n^2\))一般用邻接矩阵，稀疏图(\(m\) ~ \(n\))一般用邻接表。

1. 邻接矩阵

开一个二维矩阵v[][]来存边，\(v[a][b] = c\) 表示有一条a到b的有向边，边权为c，若 \(v[a][b] = 0\) 说明a与b不连通。

2. 邻接表

开一个头节点数组h[],存储每个h[i]是一个单链表的头节点，h[i]为头指针的链表中存了节点i能到达的所有点的idx，e[]是他们的值（编号)。空节点是-1.

//用邻接表来存储图
int e[M],ne[M],idx,h[N];//由于是无向图，是双向连接，所以e[],ne[]要开成两倍大

//以a为根，将b连到a上
void add(int a,int b){
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}

图的遍历

图的深度优先遍历

跟普通的深度优先搜索差不多，只是不用恢复现场，因为每个点只遍历一次。

void dfs(int u){
    st[u] = true;//标记已遍历
    
    for(int v = h[u]; v != -1 ; v = ne[v]){//遍历所有可达点
        int j = e[v];//获取可达点编号
        if(st[j])continue;
        dfs(j);
    }
    
}

图的广度优先遍历

也与普通的深度优先搜索差不多。

 q.push(start);//推入初始状态
 st[start] = true;//标记已遍历
while(q.size()){
    Vertex v = q.front();
    q.pop();
    for(int i = h[v]; i != -1 ; i = ne[i]){
        if(满足某些条件，如未遍历){
            st[j] = true;
            int j = e[i];
            q.push(j);
            //同时维护某些东西，进行某些操作等
        }
    }
}