瓶颈生成树

瓶颈生成树

定义无向图G，G的瓶颈生成树是一棵 “ 树上最大边权值在G的所有生成树中最小 ” 的生成树，这样的生成树可能不止一棵。瓶颈生成树的值为树上最大边权值。

由瓶颈生成树的定义可知：最小生成树是瓶颈生成树的充分不必要条件，即最小生成树一定是瓶颈生成树，瓶颈生成树不一定是最小生成树。具体证明过程可以看这里：瓶颈生成树。

所以无向图的瓶颈生成树可以用最小生成树的算法去做。

最小生成树的模板题，那必然会有两大经典算法——Kruskal，Prim。不会的同学可以先看看这里：最小生成树Kruskal+Prim算法

例题：洛谷P1991 https://www.luogu.com.cn/problem/P1991

 

本题是是一道很裸的瓶颈生成树的题，由题可知一共有P个点就是树有P-1条边，有S个卫星电话就是不用连接最大的S-1条边，所以本题一共只需要树中前（P-S）条边里的最大边即可，剩下的边用卫星电话，即循环退出条件为合并边数为P-S，因为边的大小已经经过排序了，所以此时合并的边的权值就是瓶颈生成树的值。

AC代码如下：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define pa pair<int,int>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,m,fa[N],cnt,a[N],b[N],t;
double ans; 
pair<double,pa> e[N];
int f(int x)
{
    if(x==fa[x]) return x;
    return fa[x]=f(fa[x]);
}//并查集
void kruskal()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;//初始化
    sort(e+1,e+t+1);//排序
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        int u=e[i].second.first,v=e[i].second.second;
        u=f(u);
        v=f(v);
        if(u!=v)
        {
            fa[u]=v;
            ans=e[i].first;
            cnt++;
        }
        if(cnt==n-m) break;//此时ans即为瓶颈生成树的值
    }
    printf("%0.2lf",ans);
}
int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i];
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            //每两点之间先连一条边
            double w=1.0*sqrt(1.0*(a[i]-a[j])*(a[i]-a[j])+1.0*(b[i]-b[j])*(b[i]-b[j]));
            e[++t]=make_pair(w,make_pair(i,j));
        }
    kruskal();
    return 0;
}