SAM学习笔记
后缀自动机——处理子串问题的强大工具
如何用一个自动机接受一个字符串的所有子串？
（以下以字符串\(\textbf{ababc}\)为例）
我会\(\operatorname{Trie}\)树！
You are too naive！
\(\Omicron(n^2)\)的时空复杂度，让人难以忍受！如何优化？
注意到\(\operatorname{Trie}\)树中每个状态都代表了一个本质不同子串，而光本质不同子串子串的理论复杂度就高达\(\Omicron(n^2)\)！
考虑如何降低状态数，我们使用自动机问题中常见的最小化操作，即节省无用的状态数。
但首先要引出一个概念：
\(\operatorname{endpos}\)集合：
定义子串\(t\)在\(s\)中出现的位置为\(\operatorname{endpos}(t)\)，比如子串\(\textbf{ab}\)在\(\textbf{ababc}\)中的\(\operatorname{endpos}\)集合为\(\{2,4\}\).
对于两个子串\(t_1,t_2\)，如果\(\operatorname{endpos}(t_1)=\operatorname{endpos}(t_2)\)，那么称\(t_1,t_2\)在同一个\(\operatorname{endpos}\)等价类中。
一些性质
(1).在一个后缀\(\textbf{Trie}\)中，同一个\(\operatorname{endpos}\)等价类中的点，他们能接受的子串相同（也就是转移边相同）.
- 很显然，任何一条转移边都来自于\(\operatorname{endpos}\)集合中的点之后的那个位置，既然你的\(\operatorname{endpos}\)相同，那么可能的转移边必然相同。
(2).对于两个子串\(t_1,t_2(|t_1|<|t_2|)\)，满足\(\operatorname{endpos}(t_1)\subseteq\operatorname{endpos}\|\operatorname{endpos}(t_1)\cap\operatorname{endpos}(t_2)=\varnothing\).
- 因为任意两个\(\operatorname{endpos}\)有交集的串必定一个是另一个的子串，而子串的\(\operatorname{endpos}\)必定包括它的母串的所有\(\operatorname{endpos}\)。
(3).对于任意\(\operatorname{endpos}\)等价类，满足包含的子串长度连续。
(4).一个字符串所有子串的\(\operatorname{endpos}\)集合中，本质不同的集合只有\(2len\)个。
- 对一个\(\operatorname{endpos}\)等价类中长度最长的所有位置，再向前添加一个字符，那么由于性质(2)，这个等价类必定会被分割成若干个新的\(\operatorname{endpos}\)等价类，一开始有\(1\)个点，每次划分最多只能产生\(2\)个新节点，由于初始\(\operatorname{endpos}\)集合大小才\(n\)，最多划分\(n-1\)次，所以自然只会有\(2n-1\)个状态。
\(\textbf{parent}\)树：
不难想象，\(\operatorname{endpos}\)等价类的分割关系形成了一个树状结构，我们称这个结构为\(\textbf{parent}\)树（其实就是反串的后缀树）。
虽然\(\textbf{sam}\)的本体是接下来要讲到的\(\operatorname{DAG}\)，但是这棵\(\textbf{parent}\)树的功能其实更加强大。
\(\textbf{SAM}\)
有了\(\operatorname{endpos}\)之后我们能做什么呢？把\(\textbf{Trie}\)上每个状态的\(\operatorname{endpos}\)画出来：
考虑到\(\textbf{endpos}\)总个数最多才\(2n\)个，又通过性质(1)注意到对于两个\(\textbf{endpos}\)相同的状态所有转移边也相同，于是自然想到把每个\(\textbf{endpos}\)等价类缩成一个点，形成了一个\(\operatorname{DAG}\)：
而这个简练而优雅并且画起来格外省力的\(\operatorname{DAG}\)，正是本文的主角——后缀自动机(Suffix Automation，简称\(\operatorname{SAM}\))，它以\(\Omicron(n)\)的状态数接受了一个字符串的所有子串。
一些定义
- \(len(p)\)：状态\(p\)所能表示的最长的子串
- \(minlen(p)\)：状态\(p\)所能表示的最短的子串
- \(link(u)\)：节点\(u\)在\(\textbf{parent}\)树上的父亲
- \(ch(p,c)\)：\(\textbf{sam}\)上从\(p\)出发，字符为\(c\)的转移边的终点
\(\textbf{sam}\)和\(\textbf{parent}\)树有以下性质：
(1) \(\textbf{sam}\)上一条从起点出发的路径对应一个子串.
(2) 表示两个子串的公共后缀的节点是两个节点在\(\textbf{parent}\)树上的公共祖先.
- 这是因为祖先都是后代的后缀。
(3) 对于任意状态\(p\)有\(minlen(p)=len(link(p))+1\).
- 从根到叶子代表了一个后缀的所有子串，并且这些子串都是连续的，不会凭空消失。
(4) \(\textbf{sam}\)的\(\textbf{parent}\)树上，如果某个点有字符\(c\)转移边，那么他的所有祖先必然都有字符\(c\)转移边.
- 通过后文提到的\(\textbf{sam}\)的构造法可以很直观的得到。
(5) 沿\(\textbf{sam}\)的转移边行进，\(\operatorname{endpos}\)大小单调不增。
- 和跳\(\textbf{parent}\)树的过程类似（一个是在前面加字符，一个是在后面加），沿\(\textbf{sam}\)行进时，到达的状态永远是原状态的母串，\(\operatorname{endpos}\)集合当然不可能变大。
(6) \(\textbf{sam}\)边数为\(\Omicron(n)\)。
- 不会证/kk，咕咕咕~
下图为\(\textbf{sam}\)+\(\textbf{parent}\)树：
增量法构造\(\textbf{sam}\)
强行背板子部分
具体过程：每次插入一个字符\(c\)的时候，新增节点\(o\)，从上一次新增的状态\(p\)，不断跳\(link\)，沿途所有状态全部链向\(o\)，直到某个状态\(u\)有转移边\(ch(q,c)\)指向点\(v\)，直接将\(link(o)\)链向\(v\)，如果不满足性质\(len(v)=len(u)+1\)，那就再新建一个节点\(q\)，使得\(len(v)=len(u)+1\)，\(link(q)=link(v)+1\)，然后把\(o\)和\(v\)连到\(q\)上然后往上跳，过程中把全部指向\(v\)的转移边全指向\(q\)。
结合代码理解：
int fa[maxn<<1],ch[maxn<<1][28],psiz[maxn<<1],len[maxn<<1];
int lstp=1,cnt=1;
inline void extend(int c){
int p=lstp,np=lstp=++cnt;
len[np]=len[p]+1,psiz[np]=1;
for (;p&&!ch[p][c];p=fa[p]) ch[p][c]=np;
if(!p){
fa[np]=1;
return;
}
int q=ch[p][c];
if(len[q]==len[p]+1){
fa[np]=q;
return;
}
int nq=++cnt;
memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q])),len[nq]=len[p]+1;
fa[nq]=fa[q],fa[q]=fa[np]=nq;
for (;p&&ch[p][c]==q;p=fa[p]) ch[p][c]=nq;
}
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