树状数组学习笔记
树状数组
就是把线段树每个节点的右儿子去掉，然后所有节点连向可追溯的第一位祖先
线段树的结构（手绘图片累死了QwQ）：
去掉右儿子，链向祖先，同时每个节点都标号为自己覆盖的最后一个位置，就将线段树改造成了树状数组：
一些性质
- 树状数组是右儿子信息缺失的线段树
- 每次前缀查询到的子树的大小之和刚好为前缀长度
- 树状数组中节点的编号是节点的右端点位置
- 树状数组中节点的长度是节点编号的\(\textbf{lowbit}\)
可实现操作
前缀查询
由于右儿子的缺失，线段树区间查询的能力已经完全丧失了，但是可以支持前缀查询，通过倍增的方式将一个前缀查询划分成\(\log\)段长度不同且长度为\(2^k\)的区间，然后合并得到答案。
这个过程可以轻松的实现，不过这里要讲另一种更常用的方法：确定最后一个位置然后倒推回去。
令\(c_i\)表示树状数组中的节点\(i\)，\(f_i\)表示区间\([1,i]\)的信息，那么：
\[f_i=c_i+f_{i-\operatorname{lowbit}(i)}
\]
其中\(\operatorname{lowbit}(i)\)表示\(i\)的最后一个二进制位，可以用\(x\textbf{&}-x\)来实现.
这个操作看似玄学，实际上有道理的很。
我们考虑到两件事：
- 在树状数组中，节点\(i\)的最后一个位置就是\(i\)位置。
- 在树状数组中，节点\(i\)的长度正是\(\operatorname{lowbit}(i)\).
一个点的右端点减去长度，不就是它的前驱位置吗？
至此我们搞定了前缀查询，至于区间查询，只有满足可差分性的情况能通过前缀作差的方式来实现。
树状数组上二分
不需要满足可查分，过程和线段树二分类似，大致的思路是缩小范围。
首先锁定合法区间\([1,2^k]\)，然后向下搜索：
现在正在红圈位置，锁定区间\([5,8]\)。
不难发现区间\([l,r]\)的左儿子编号为\(\frac{l+r}{2}\).
检查左儿子，如果合法进入左儿子，不然就进入右儿子。
搜到叶子结束。
特殊情况
如果是针对一段前缀二分的话，可以先倍增拆成\(\log\)段区间，然后锁定其中某一段后再二分。
区间修改，单点查询
利用差分思想，令\(\operatorname{sum}_i=a_i\)，每次修改时，在区间左端点处加，右端点处减。
区间修改，区间查询
也是差分，构造\(\sum_{i=1}^{n}r_i=a_n\)，则
\[\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}r_i=\sum_{i=1}^{n}r_i\times n-\sum_{i=1}^{n}r_i\times(i-1)
\]
所以我们分别维护前缀\(r_i\)和\(r_i\times(i-1)\)即可。
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