二项式系数学习笔记

\[\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)\cdots1}=\frac{n^{\underline{k}}}{k!} \]

对称恒等式：

\[\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},n,k\in\Z,n\geq0 \]

证明：

\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-(n-1))!(n-k)!}=\binom{n}{n-k} \]

吸收恒等式：

\[\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1},k\in\Z,k\neq0 \]

即：

\[k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1},k\in\Z \]

\(\textbf{该恒等式的相伴恒等式}:\)

\[(n-k)\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k},k\in\Z \]

证明：

\[(n-k)\binom{n}{k}=(n-k)\binom{n}{n-k}=n\binom{n-1}{n-k-1}=n\binom{n-1}{k} \]

有了吸收恒等式及其相伴恒等式，我们可以很方便的对上下指标进行\(\pm1\)操作。

上指标\(+1\)：\(\dbinom{n+1}{k}=\dfrac{n+1}{n-k+1}\dbinom{n}{k}\)

上指标\(-1\)：\(\dbinom{n-1}{k}=\dfrac{n-k}{n}\dbinom{n}{k}\)

下指标\(+1\)：\(\dbinom{n}{k+1}=\dfrac{n-k}{k+1}\dbinom{n}{k}\)

下指标\(-1\)：\(\dbinom{n}{k-1}=\dfrac{k}{n-k+1}\dbinom{n}{k}\)

加法恒等式

\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} \]

组合意义证明：

分类讨论，考虑第\(n\)个选或不选，若选，则方案数为从前\(n-1\)个中选\(m-1\)个，若不选，则方案数为从前\(n-1\)个中选\(m-1\)个。

上指标求和

\[\sum_{k=0}^{n}\binom{k}{m}=\binom{n+1}{m+1} \]

组合意义证明：

从长度为\(n+1\)的序列中选出\(m+1\)个元素，当所选的最后一个元素为\(k+1\)号元素时，共有\(\dbinom{k}{m}\)种选法。

平行求和法

——上指标求和更一般的情况。

\[\sum_{k=0}^{n}\binom{m+k}{k}=\binom{n+m+1}{n} \]

同时也是用上指标求和来证明的：

\[\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\binom{m+k}{k}&=\sum_{k=0}^{n}\binom{m+k}{m}+0\\ &=\sum_{k=m}^{n+m}\binom{k}{m}+\sum_{k=0}^{m-1}\binom{k}{m}\\ &=\sum_{k=0}^{n+m}\binom{k}{m}\\ &=\binom{n+m+1}{m+1}=\binom{n+m+1}{n} \end{align*} \]

注意到在第二部中，我们给式子加上了一个\(\sum\limits_{k=0}^{m-1}\dbinom{k}{m}\)，是因为当\(k<m\)时，\(\dbinom{k}{m}=0\).

其实这个恒等式的核心就是上下指标差恒定（也就是“平行”）即可求和，不信我们对下指标也进行扩展：

\[\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\binom{m+k}{s+k}&=\sum_{k=0}^{n}\binom{m+k}{m-s}\\ &=\sum_{k=0}^{n+m}\binom{k}{m-s}=\binom{n+m+1}{n+s} \end{align*} \]

范德蒙德卷积

\[\sum_{k=0}^{s}\binom{n}{k}\binom{m}{s-k}=\binom{n+m}{s},n,m\in\Z \]

由该恒等式为基础得到的其他恒等式：

\[\begin{align*} \sum_{k}&\binom{n}{a+k}\binom{m}{b+k}=\binom{n+m}{n-a+b}\\\\ \sum_{k}&\binom{l}{m+k}\binom{s+k}{n}(-1)^k=\binom{l+s}{l-m+n},l\geq0\\\\ \sum_{k\leq l}&\binom{l-k}{m}\binom{s}{k-n}(-1)^k=(-1)^{l+m}\binom{s-m-1}{l-m-n},l,m,n\geq0\\\\ \sum_{-q\leq k\leq l}&\binom{l-k}{m}\binom{q+k}{n}=\binom{l+q+1}{m+n+1},n,m\geq0,l+q\geq0\\\\ \end{align*} \]

证明咕掉。