生成函数
其他：
对$${1\over 1-x}=1+x+x2+x3\cdots$$
进行加减乘除求导积分，或把\(x\)代换成\(ax\)等方法得到一些奇怪的公式，参见小函数\(qwq\)
令\(x\)取\(-x\)则原式变为容斥形式
指数型生成函数
\(~~~~\)生成函数的每一项系数变为$$\frac {a_i}{i!}$$\(~~~~\)这样可以发现一些规律，并且在求解组合数问题时会派到用场。
生成函数解一次递推题：
step1：
\(~~~~\)设出母函数的幂级数形式，利用递推公式（左右两边相减得0）把幂级数形式乘除加减求导积分化为闭形式。
step2：
\(~~~~\)把闭形式分解成可以化成确切已知幂级数的小函数（见文章最后）加减形式，得到通项公式。
生成函数解二次递推题：
step1：
\(~~~~\)利用生成函数（大眼观察法）求出\(f(0,m)\)的通项公式(可以理解成\(f(0,m)\)与\(f(0,0)\)的关系)。
step2：
\(~~~~\)固定列\(m\)(把\(m\)当作常数),求出\(f(n,m)\)与\(f(0,m)\)的关系(通项公式，但是除n外，带常数m)，把\(f(m,0)\)代入得\(f(n,m)\)与\(f(0,0)\)的关系，即通项公式。
\(~~~~\)例题
卷积型生成函数解递推式：
递推公式大致形态:\(h_n=\sum_{i=0}^n h_i\times h_{n-i}\)
核心操作：
令\(g(x)\)为其生成函数，则可得到：相邻两阶导数的关系，将生成函数幂级数形式求导带入，根据对应项相等，可得\(O(n)\)递推公式。例题
生成函数解排列组合问题：
可以求解的问题：
\(~~~~\)用一些物品组合成一个集合的方案数，对物品的选取有要求，如只能选某个数的倍数次，或不多于某个数等。
step1：
\(~~~~\)每个物品分别用指数代表贡献，系数代表方案，互斥的选取方法用+连接，不同物品乘起来。
step2：
\(~~~~\)把整个式子化成闭形式，再展开成幂级数形式，i项的系数就是组成集合有总数为i的贡献的方案数。
另一种方法：
在特殊限制下，每一个物品都有单位选取个数，且可以选无数个，那么可以设生成函数$$A(x)=\sum a_i\times x^i$$\(a_i\)表示单位选取方案数，\(m_i\)表示单位个数，那么答案生成函数
即从选几个物品的角度来看，每次从中选一个。
指数型生成函数的意义：
\(~~~~\)若求排列数，那么就要使用指数型生成函数，多项式系数仍代表组合数，数列代表排列数，最后得到一个幂级数，它的系数就是排列数。（组合数？？？为什么不直接除阶乘？？？？）
秘籍\(\cdot\)小函数：
\(1\).$$\sum_{n\ge 0}x^{n} ={1 \over 1-x}$$
\(2\).$$\sum_{n\ge 0}{n+m-1\choose m-1}x^{n}=\frac 1{(1-x)^m}$$
(多个函数卷积，插板法)
\(4\).$$\sum_{n\ge 0}\frac{xn}{n!}=ex(from~taylor)$$
\(5\).$$\sum_{n\ge 1}\frac{x^n}{n}=\ln\frac{1}{1-x}$$
(一次求导才得到\(\frac 1 {1 - x}\)，所以每一个都多乘了\(n\)，方程的解多除一个)
\(7\).$$\sum_{0\le n\le p}xn=\frac{1-x{p+1}}{1-x}$$
(\(1\)保留本身 \(-x^{p+1}\)把他后面\(p+1\)项减掉，只有\(1\)~\(p\)没有被减)
\(10\).$$\sum_{n\ge 0}\frac{x{2n}}{(2n)!}=\frac{ex + e^{-x}}{2}(from~4)$$
\(11\).$$\sum_{n\ge 0} \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}=\frac{e^x - e^{-x}}{2}(from~4)$$
\(12\).$$\sum_{n \ge 0}(-1){n+1}\frac{x{n}}{n}=\ln(1+x)$$
\(\frac{1}{1+x}\)求导得\(\sum_{i\ge 0}(-1)^ix^i\)由于\(\ln(1+x)\)求导一次才得\(\frac{1}{1+x}\)多乘一个\(n\)，方程的解要除去且\((-1)^i\)奇偶性发生变化变成\((-1)^{i+1}\)
\(13\).$$\sum_{n\ge 0} {a\choose n}\times xn=(1+x)a (from~high-text-book)$$
\(14\).$$\sum_{n\ge 0} (x+y)^n=\frac {1}{1-x-y}(x=x+y)$$
\(3\).$$\sum_{n\ge 0}cnxn=\frac{1}{1-cx}(x=cx)$$
\(8\).$$\sum_{0\le n\le p}x^{n\times a}=\frac{1-x{a\times(p+1)}}{1-xa} (x=x^a)$$
关键：
把意义与函数指数系数对应起来。
