P1982 [NOIP 2013 普及组] 小朋友的数字

题目描述

有 \(n\) 个小朋友排成一列。每个小朋友手上都有一个数字，这个数字可正可负。规定每个小朋友的特征值等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中连续若干个（最少有一个）小朋友手上的数字之和的最大值。

作为这些小朋友的老师，你需要给每个小朋友一个分数，分数是这样规定的：第一个小朋友的分数是他的特征值，其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。

请计算所有小朋友分数的最大值，输出时保持最大值的符号，将其绝对值对 \(p\) 取模后输出。

输入格式

第一行包含两个正整数 \(n,p\)，之间用一个空格隔开。

第二行包含 \(n\) 个数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示每个小朋友手上的数字。

输出格式

一个整数，表示最大分数对 \(p\) 取模的结果。

说明/提示

样例解释 1

小朋友的特征值分别为 \(1,3,6,10,15\)，分数分别为 $ 1,2,5,11,21$，最大值 \(21\) 对 \(997\) 的模是 \(21\)。

样例解释 2

小朋友的特征值分别为 \(-1,-1,-1,-1,-1\)，分数分别为\(-1,-2,-2,-2,-2\)，最大值 \(-1\) 对 \(7\) 的模为 \(-1\)，输出 \(-1\)。

【数据范围】

对于 \(50\%\) 的数据，\(1 \le n \le 1000\)，\(1 \le p \le 1000\)，所有数字的绝对值不超过 \(1000\)；

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le {10}^6\)，\(1 \le p \le {10}^9\)，其他数字的绝对值均不超过 \({10}^9\)。

---

题解

第 \(i\) 个小朋友的特征值：选择 \([1, i]\) 的一个非空区间 \([l, r]\), 使得第 \(l \sim r\) 名小朋友手上的数字之和最大。

假设 \(dp_i\) 是以 \(a_i\) 的结尾的最大子段和, 那么第 \(i\) 个小朋友的特征值是 \(\max(dp_1, dp_2, \cdots, dp_i)\).

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i64 = long long;

const int N = 1E6 + 5;

int a[N], n, p;
i64 dp[N], maxpre[N], val[N];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> p;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        dp[i] = max(dp[i - 1] + a[i], (i64) a[i]);

        if (i == 1) {
            maxpre[i] = dp[i];
        } else {
            maxpre[i] = max(maxpre[i - 1], dp[i]);
        }
    }
    return 0;
}

---

STD

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i64 = long long;

const int N = 1E6 + 5;

int a[N], n, p;
i64 dp[N], maxpre[N];

__int128 val[N], t;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> p;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        dp[i] = max(dp[i - 1] + a[i], (i64) a[i]);

        if (i == 1) {
            maxpre[i] = dp[i];
        } else {
            maxpre[i] = max(maxpre[i - 1], dp[i]);
        }
    }

    val[1] = maxpre[1];

    t = maxpre[1] + val[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        val[i] = t;
        t = max(t, maxpre[i] + val[i]);
    }

    __int128 ans = *max_element(val + 1, val + n + 1);
    cout << int(ans % p) << "\n";
    return 0;
}