线性代数术语简单梳理

（期末考术语补救站，给一些术语不太熟悉的人的补救措施）
（由于文中没有以颜色而是以粗体标注重点术语，本文推荐在白底情况下阅读，以方便辨认粗体内容）
（本文以居余马的《线性代数（第二版）》，ISBN:7-302-05534-3 为底本）

第一章行列式

行列式定义

由 $n^2$ 个数 $a_{i,j},(i,j=1,2,\cdots,n)$ 组成的 $n$ 阶行列式 $D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ 有如下递归式：

$D_n=\begin{cases}a_{11},&n=1\\\sum_{i=1}^n a_{1i}A_{1i},&n\ge2\end{cases}$

其中的 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}=(-1)^{i+j}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1j-1}&a_{1j+1}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j-1}&a_{2j+1}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i-1,1}&a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj-1}&a_{nj+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$（即把第 $i$ 行与第 $j$ 列删去）

$A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的 代数余子式，$M_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的 余子式

在 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ 中，$a_{11},a_{22},\cdots,a{nn}$ 所在的对角线为 主对角线，另一条为 副对角线；$a_{11},a_{22},\cdots,a{nn}$ 被称为 主对角元

把行列式 $D_n$ 完全展开，可以写成 $n!$ 项 $n$ 次多项式，即 展开式

行列式性质

$D_n$ 行列互换不改变代数值
$\forall i=1,2,\cdots,n,D_n=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}$
- 推论：如果 $D_n$ 有一行全为 $0$，则 $D_n=0$
（线性性质）$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\mu a_{i1}+\nu b_{i1}&\mu a_{i2}+\nu b_{i2}&\cdots&\mu a_{in}+\nu b_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\mu\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\nu\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{i1}&b_{i2}&\cdots&b_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$
线性性质推论：
- 如果某两行的元素成比例，则 $D_n=0$
- 给 $D_n$ 中的某一行加上另一行的若干倍不影响 $D_n$ 的值
- 交换两行，$D_n$ 变号
$\forall i,j=1,2,\cdots,n,i\neq j\Rightarrow \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}=0$
相当于把原来 $D_n$ 的第 $j$ 行换成第 $i$ 行，这样 $i,j$ 两行成比例，从而新的 $D_n'=0$

上三角行列式：$\forall i>j,a_{ij}=0$
下三角行列式：$\forall i<j,a_{ij}=0$

对于上述两者，$D_n=\prod_{i=1}^n a_{ii}$
对称行列式：$\forall i,j,a_{ij}=a_{ji}$
反对称行列式：$\forall i,j,a_{ij}=-a{ji}$
奇数阶反对称行列式 $D_{2n-1}=0$
$\text{Vandermonde}$ 行列式：$V_n=\begin{vmatrix}1&1&\cdot&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)\end{vmatrix}$
$D=\begin{vmatrix}A&0\\*&B\end{vmatrix}=|A||B|$

克拉默 $\text{(Cramer)}$ 法则

对于线性非齐次方程组：
$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}$，记对应的系数行列式 $D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ 与 $D_j=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j-1}&b_1&a_{1j+1}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\cdots&a_{2j-1}&b_2&a_{2j+1}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nj-1}&b_n&a_{nj+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$

若 $D\neq0$，则方程有唯一解 $x_i=\dfrac{D_i}{D},i=1,2,\cdots,n$
特别地，若此时 $\forall i,b_i=0$，方程有唯一解 $x_i=0,i=1,2,\cdots,n$

第二章矩阵

矩阵

数域 $F$ 中 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ 以 $(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$ 排成 $m$ 行 $n$ 列，并括以圆括弧（或方括弧）的数表称为 数域 $F$ 上的 $m\times n$ 矩阵，通常用大写字母记做 $A$ 或 $A_{m\times n}$
$F=\mathbb R$ 时，$A$ 称为实矩阵；当 $F=\mathbb C$ 时，$A$ 称为复矩阵
$m\times n$ 个元素全为零的矩阵称为 零矩阵，记做 $0$
$m=n$ 时，称 $A$ 为 $n$ 阶矩阵（方阵）
数域 $F$ 上的所有 $m\times n$ 矩阵构成集合 $F^{m\times n}$ 或 $M_{m\times n}(F)$
数域 $F$ 上的所有 $n$ 阶矩阵构成集合 $F^{n\times n}$ 或 $M_n(F)$
对于方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}$，有增广矩阵 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&b_n\end{vmatrix}$，分成两部分 $(A,b)$，其中 $A$ 代表未知数系数排成的 系数矩阵

高斯消元法

阶梯型线性方程组 的系数矩阵 $A$ 满足：

若第 $i$ 行全为 $0$，则 $\forall j>i$，第 $j$ 行也全为 $0$
若第 $i$ 行不是 $0$，则该行第一个非零元为 $1$，称之为主元
若第 $i+1$ 行不是 $0$，则该行主元的列下标 $j_{i+1}>j_{i}$
行简化阶梯矩阵 的系数矩阵 $A$ 在上面的基础上满足：
任何主元正上方的元素均为 $0$
当 $b$ 所有元素为 $0$ 是，该方程组为 齐次线性方程组，否则为 非齐次线性方程组
高斯消元法 步骤：

当仍有非零行未被处理：
  选择一个非零行
  通过乘上一定系数使得该行的主元变为 1
  对其余所有行：
    通过线性加和，把与该主元同一列的数均化为 0
排列所有行，主元对应的列坐标越小的行在越上面

消元后，记主元数量为 $r$

$r=n$，则有唯一解
$r<n$，则有无数解

矩阵运算

矩阵相加：对应位置加和，满足交换、结合律，有单位元零矩阵与对应的加法逆
矩阵数乘：全体乘，满足结合、分配律，有 $1$ 为单位元
矩阵相乘：$m\times n\cdot n\times s$，相应行与相应列求内积

满足结合，分配律与数乘的结合律
不满足交换律
不满足排 $0$ 律：$AB=0\not\Rightarrow A=0\or B=0$
不满足消去律：$AB=AC\not\Rightarrow B=C$

对于矩阵 $A$，若 $\det A=|A|=0$，则称 $A$ 是奇异的，否则 $A$ 为非奇异矩阵
单位矩阵：主对角线全为 $1$，其他元素均为 $0$ 的 $n$ 阶方阵，记作 $I_n$ 或 $I,E$
数量矩阵：$kI,k\in F$
对角矩阵：只有主对角线不为 $0$ 元素的矩阵，记作 $\Lambda$ 或 $\mathrm{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})$
上三角矩阵：$\forall i>j,a_{ij}=0$
下三角矩阵：$\forall i<j,a_{ij}=0$

对于方程组的增广矩阵 $(A,b)$，令 $X=\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}$，方程组可以用 $AX=b$ 表示
$\det AB=\det A\cdot\det B$
伴随矩阵：对于 $A$ 有伴随矩阵 $A^*=(\mathrm{cof} A)^T:a_{ij}=A_{ij}$，也可记为 $\mathrm{adj} A$
$\det A^*=(\det A)^{n-1}$
方阵求幂：$A^1=A;A^k=A^{k-1}\cdot A,(k\ge2)$
方阵多项式：把 $A$ 作为一般的数带入多项式中的结果，结果同样对应一个方阵
矩阵转置：把 $A$ 的行列互换得到 转置矩阵，记为 $A^T$

$(A^T)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(kA)^T=kA^T$
$(AB)^T=B^TA^T$
对称矩阵：$A^T=A$
反对称矩阵：$A^T=-A$
$\forall A,AA^T,A^TA$ 是对称矩阵
若 $A,B$ 均对称，$AB$ 对称 $\iff AB=BA$
矩阵求逆：对于 $A$ ，若 $\exists B$，$AB=BA=I$，称 $A$ 可逆，$B$ 为 $A$ 的逆，记为 $A^{-1}$
$\forall A,\det A\neq 0\iff \exists A^{-1},A^{-1}A=I$
可知 $A^*A=|A|I$，从而 $A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}$
- $(A^{-1})^{-1}=A$
- $(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$
- $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
- $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
- $\det A^{-1}=(\det A)^{-1}$
  $A^T=A \Rightarrow (A^{-1})^T=A^{-1}$
  $A^T=-A \Rightarrow (A^{-1})^T=-A^{-1}$
  $\forall A\neq 0,A^*=A^T\Rightarrow\exists A^{-1}$
  $(AB)^*=B^*A^*$

初等行变换

分块矩阵

第三章线性方程组

$n$ 维向量

$n$ 维向量空间

数域 $F$ 上的全体 $n$ 元向量定义了相应的向量加法和数乘运算，称向量集合为数域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间，记作 $F^n$

线性组合

设 ${\vec\alpha_i}\in F^n,k_i\in F_n,i=1,2,\cdots,m$，有 $\sum_{i=1}^m k_i\vec\alpha_i$ 为 $\vec\alpha_1$ 到 $\vec\alpha_n$ 在 $F$ 上的一个 线性组合，我们说这个组合是可以被 $\vec\alpha_1$ 到 $\vec\alpha_n$ 线性表示

线性相关

若 $\vec 0$ 可以被 $\vec\alpha_1$ 到 $\vec\alpha_n$ 以不全为 $0$ 的系数线性表示，则称 $\vec\alpha_1$ 到 $\vec\alpha_n$ 线性相关；否则线性无关
$\vec0$ 存在 $\Rightarrow$ 该向量组线性相关
子向量组线性相关 $\Rightarrow$ 原向量组线性相关
向量组线性相关 $\iff$ 令 $A=(\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n),X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$，方程 $AX=0$ 有非零解
向量组 $a$ 线性无关，向量 $\vec\beta$ 可被 $a$ 线性表示 $\Rightarrow$ 表示方式唯一

向量组的秩

对于向量组 $a$，有秩 $r=\max_{u\subset a,u\ \mathtt {unrelated}} |u|$
若对于向量组 $a,b$，$\forall y\in b,y$ 可以被 $a$ 表示，则说 $a$ 可以表示 $b$
若 $a$ 可以表示 $b$，$b$ 可以表示 $a$，称 $a,b$ 是等价的
$a$ 可以表示 $b$ $\Rightarrow |b|\le|a|$

矩阵的秩

矩阵有两种看做向量组的方式

初等行变换不改变行秩或者线性相关性
行秩等于列秩，统一记为 $r(A)$
$r(A_n)=n \iff \det A\neq0$

$k$ 阶子行列式

选取原行列式 $k$ 行 $k$ 列交点处的 $k^2$ 个元素，作为新的 $k$ 阶行列式；等于 $0$ 时，称其为 零子式，否则称为 非零子式
若选取的行列序号相同，称这种子行列式为 主子式

秩的性质

$r(A+B)\le r(A)+r(B)$
$r(AB)\le\min{r(A),r(B)}$
对于可逆矩阵 $P_n,Q_m$ 与 $A_{n\times m}$，$r(A)=r(PA)=r(AQ)$
对于 $A_{m\times n}$，若 $m<n$，则 $|A^TA|=0$

相抵标准型

对于可逆矩阵 $P_n,Q_m$ 与 $A_{n\times m}$，$B=PAQ$ 与 $A$ 是相抵的，记作 $A\cong B$
相抵关系有反身、对称、传递性，故而相抵关系是一个等价关系
若 $r(A)=r$，则 $\exists P,Q$ 可逆，同时 $PAQ=U=\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}_{m\times n}$

齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

$r(A_{m\times n})=n \iff AX=0$ 没有非零解
设向量组 $x$ 中的 $\vec x_1,\vec x_2,\cdots,\vec x_p$ 均为 $AX=0$ 的解向量，若 $x$ 线性无关，且 $AX=0\iff X$ 可以被 $x$ 线性表示，则称 $x$ 是一个基础解系
若 $x$ 为一个基础解系，则 $x$ 的线性表达即为 $AX=0$ 所有解的集合
若 $A_{m\times n}B_{n\times s}=0$，则 $r(A)+r(B)\le n$
$r(A^TA)=r(A)$

非齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

对于方程 $AX=b$：$AX=b$ 有解 $\iff b$ 可由 $A$ 的列向量线性表示 $\iff r[(A,b)]=r(A)$
$AX=b$ 有唯一解 $\iff r[(A,b)]=r(A)-A$ 的列数
若 $AX=b$ 有解，则一般解为 $x=x_0+\bar x$，其中 $x_0$ 为一个特解，而 $\bar x$ 为 $AX=0$ 的一般解

第四章向量空间与线性变换

基的概念

若 $\mathbb R^n$ 上的有序向量组 $\vec\beta_i$ 线性无关，且 $\forall \vec\alpha\in\mathbb R^n,\vec\alpha$ 可以被 $\vec\beta_i$ 线性表示，则 $\vec\beta$ 是 $\mathbb R^n$ 的一组基，对应表示 $\vec\alpha$ 的系数组为 $\vec\alpha$ 的坐标
我们称 $n$ 个单位向量组成的基成为 自然基 或 标准基

基相关的命题

设 $B$ 是 $\mathbb R^n$ 的一组基，有 $\vec\eta_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}\vec\beta_i$，则 $\vec\eta_i$ 线性无关 $\iff \det [a_{ij}]_{n\times n}\neq0$
设 $B_1,B_2$ 是 $\mathbb R^n$ 的两组基，向量 $\vec\alpha\in \mathbb R^n$ 对两套基分别有两个坐标 $\vec x,\vec y$，若 $B_1$ 的矩阵与 $B_2$ 的矩阵分别为 $P_1,P_2$，且 $P_1A=P_2$，称 $A$ 为过渡矩阵，同时有 $\vec x=A\vec y$

向量内积，

$\vec\alpha\cdot\vec\beta=\|\vec\alpha\|\|\beta\|\cos <\vec\alpha,\vec\beta>$
对于标准基的 $\alpha$ 坐标 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 与 $\beta$ 坐标 $(y_1,y_2,\cdots,y_n)$
有 $\vec\alpha\cdot\vec\beta=\sum_{i=1}^n x_iy_i$

内积的性质

满足交换，分配，数乘结合律，自积结果非负，为 $0$ 当且仅当为零向量
非零向量 $\alpha,\beta$ 正交 $\iff (\alpha,\beta)=0$
定义了内积的 $n$ 维实向量空间称为 欧几里得空间，简称 欧式空间，记号不变

标准正交基

$\mathbb R^n$ 中两两正交，不含零向量的向量组线性无关
若对于 $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n$ 有 $(\vec\alpha_i,\vec\alpha_j)=\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}$，则该向量组为 $\mathbb R^n$ 的一组标准正交基
施密特正交化方法
现在已知一组基 $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n$，

get a
create:beta
while exists alpha in a:
  for x in beta
    alpha-=(alpha,x)/(x,x)*x
  push alpha/(alpha,alpha) in beta
return beta

正交矩阵

定义

$A^TA=I$，则 $A$ 为 正交矩阵

性质

$|\det A|=1$
$A^{-1}=A^T$
$A^T,A^{-1}$ 同样正交
$A,B$ 正交，则 $AB$ 正交
我们把欧式空间中正交矩阵代表的线性变换称为 欧式空间的正交变换

线性空间定义

数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 是一个带有两个计算 $+$ 与 $\lambda\cdot$ 且对此封闭的非空集合，同时满足：

加法交换
加法结合
存在加法元 ($\vec 0$)
存在加法逆 ($-\vec x$)
存在数乘元 ($1$)
存在数乘结合
存在数乘数分配
存在数乘元分配

线性空间简单性质

加法元唯一
加法逆唯一，从而减法良定义
减法分配适用
$\lambda \cdot \vec 0=\vec 0,\lambda \cdot (-\vec a)=-(\lambda\cdot \vec a),0\cdot \vec a=\vec 0,(-\lambda)\cdot\vec a=-(\lambda\cdot\vec a)$
$\forall k\in F,\forall \vec a\in V,k\vec a=\vec 0\Rightarrow k=0 \or \vec a=\vec 0$

线性子空间

若 $W$ 为 $V$ 子集且为一个线性空间，则 $W$ 为 $V$ 的一个线性子空间
$W$ 为 $V$ 的一个线性子空间 $\iff$ $W$ 对 $+$ 和 $\lambda\cdot$ 封闭
零子空间：只包含加法元的子空间
平凡子空间：零子空间与空间本体
解空间：齐次线性方程组对应的解组成的集合 $S={X\in F^n|AX=0}$，或称矩阵 $A$ 的零空间
$S={X\in F^n|AX=b\neq0}$ 不为 $F^n$ 的子空间
$S$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的非空子集，则 $S$ 中所有向量组的线性组合构成的集合 $W$ 为最小的，包含 $S$ 的 $V$ 子空间；在这段论述中，我们说 $S$ 生成 $W$
若 $S={\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n}$，则记 $W=L(\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n)$
若有 $W_1,W_2\subset V$，其中 $W_1=L(\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_s),W_2=L(\vec\beta_1,\vec\beta_2,\cdots,\vec\beta_t)$，$W_1=W_2 \iff \alpha_i,\beta_i$ 可以互相线性表示
$W_1\cap W_2$ 为两个子空间的交
$W_1+W_2={\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in W_1,\alpha_2\in W_2}$ 为两个子空间的和，特别地，$W_1\cap \W_2=\{0\}$ 是可以记为 $W_1 \oplus W_2$，成为两子空间的直和

矩阵 $A$ 列向量张成列空间，行向量张成行空间，分别记为 $R(A^T),R(A)$
$\forall \vec x\in W,\vec a\perp\vec x\Rightarrow\vec a$ 与 $W$ 正交
$\forall \vec x\in V,\forall \vec y\in W\Rightarrow V$ 与 $W$ 正交
（第四章实际上没上那我先咕了）

第五章特征值和特征向量矩阵的对角化

特征值和特征向量

对于 $\mathbb C$ 上 $n$ 阶方阵 $A$，若 $\exists \lambda\in\mathbb C,\vec x\neq0,A\vec x=\lambda\vec x$，此时 $\lambda$ 为 特征值，$\vec x$ 为 特征向量
$A\vec x=\lambda x\iff (A-\lambda I)\vec x=0$
上式有非零解 $\iff \det(A-\lambda I)=0$，可以求解方程得到 $n$ 个 $\lambda$ 的值（可能有重根），然后解方程组即可

性质

对于矩形 $A$，以 $\lambda$ 为特征值的特征向量张成的子空间，其中的任意向量 $\vec x$ 均满足 $A\vec x=\lambda\vec x$，该子空间满足 $\dim V_\lambda=n-r(\lambda I-A)$
$\sum_{i=1}^n \lambda_i=\sum_{i=1}^n a_{ii}=tr(A),\prod_{i=1}^n \lambda_i=\det A$
若 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，有对应的一个特征向量为 $\vec x$

$k\lambda$ 为 $kA$ 的特征值 $(k\in F)$
$\lambda^m$ 为 $A^m$ 的特征值 $(m\in\mathbb N^+)$
$\exists A^{-1}\Rightarrow \lambda^{-1}$ 为 $A^{-1}$ 的特征值
$\lambda$ 为 $A^T$ 的特征值
考虑到 $A\vec x=\vec x\cdot \lambda E_{ii}$
构建 $P$ 为以特征向量为列向量的矩阵，这样有 $AP=P\Lambda$

相似矩阵

对于两矩阵 $A,B$，若 $\exists P$ 可逆，$B=P^{-1}AP$，则 $A~B$，称为 $A$ 相似于 $B$
相似是一种等价关系
相似矩阵满足线性性，结合拆分律，幂乘不变律
相似矩阵的特征值相同（不可逆）

矩阵对角化

$n$ 阶方阵 $A$ 可对角化 $\iff A$ 有 $n$ 个线性相关的特征向量
$A$ 对应的对角阵是唯一的，称为 $A$ 的相似标准形
对于矩阵 $A$，所有同一特征值中线性无关的特征向量组，构成的向量组线性无关
若矩阵 $A_n$ 有 $n$ 个不同特征值，则 $A$ 可对角化
一个 $k$ 重特征值对应的特征向量空间 $V$ 有 $\dim V\le k$

实对称矩阵的对角化

实对称矩阵的特征值均为实数
实对称矩阵不同特征值的特征向量正交
实对称矩阵总是与对角阵相似且对应的 $P$ 总是正交的

第六章二次型

二次型定义

对于一个二次齐次多项式的系数，若其均属于数域 $F$，则称多项式是 $F$ 上的一个 $n$ 元二次型，简称 *二次型**，系数构成的对称矩阵成为 二次型

合同矩阵

若 $\exists C$ 可逆，$C^TAC=B$，则 $A,B$ 互为合同矩阵，记作 $A\simeq B$
合同也是一种等价关系

化二次型为标准型：另一种对角化

即对于二次型 $A$，求出正交矩阵 $C$，使得 $C^TAC=\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$

惯性定理

对于一个 $n$ 元二次型 $x^TAx$，不论做怎样的坐标变换使之化为标准形，其中正平方项数和负平方项数都是唯一确定的
我们把这个确定的正平方项数称为 正惯性指数，把确定的负平方项数称为 负惯性指数

正定二次型与正定矩阵

若 $\forall x_i,f(x_i)>0$，则 $f(x_i)$ 是一个 正定二次型，对应的矩阵 $A$ 为 正定矩阵

正定矩阵性质

$A$ 正定 $\Rightarrow$ $A^{-1}$ 正定
若 $A$ 正定，则 $a_ii>0,\det A>0
若 $A$ 正定，则 $\exists B$ 正定，$A=B^2$

类似概念：

$x^TAx\ge0$ 且等号可能：半正定
$x^TAx<0$ ：负定
$x^TAx\le0$ 且等号可能：半负定
均不满足：不定

posted @ 2026-01-07 12:33 The_Euclidea_Witness 阅读(13) 评论(0) 收藏举报

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线性代数 术语简单梳理

第一章 行列式