[BZOJ2839]集合计数

Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得

它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

 

首先我们选出$k$个元素作为交集,方案数为$\binom{n}{k}$,那么接下来不管怎么选择集合的交集一定为空

根据容斥原理:$\varnothing=$总方案数$-$至少有一个交集的方案数$+$至少有两个交集的方案数$+\cdots+(-1)^{n}$至少有$n$个交集的方案数

设$f_i$表示至少有$i$个交集的方案数,那么$f_i=\binom{n}{i}(2^{2^{n-i}}-1)$

这里解释一下这个式子的意义:首先任选$i$个数作为交集,然后剩下$n-i$个数可选可不选,但不能全部不选,一共能够成$2^{n-i}$种集合,然后我们从这些集合中任选若干个,这里是考虑每个集合选还是不选,方案数为$\binom{n}{i}(2^{2^{n-i}}-1)$

然后根据容斥定理,$ans=\binom{n}{k}\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^if_i$

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mod 1000000007
#define M 1000010
#define int long long
using namespace std;
int n,k,ans,now=2;
int h[M],inv[M];
int power(int a,int b) {
    int ans=1;
    while(b) {
        if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
        b>>=1,a=1ll*a*a%mod;
    }return ans;
}
int C(int n,int m) {
    return 1ll*h[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
#undef int
int main() {
    #define int long long
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    h[0]=1;inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        h[i]=h[i-1]*i%mod,inv[i]=power(h[i],mod-2);
    n-=k;
    for(int i=n;i>=0;i--) {
        (ans+=((i&1)?-1:1)*1ll*C(n,i)*(now-1)%mod)%=mod;
        now=1ll*now*now%mod;
        if(ans<0) ans+=mod;
    }
    ans=1ll*ans*C(n+k,k)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}