题解：CF1413D Shurikens

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若顺序、在线地处理每个事件，实时维护柜台中的剑的价格组成的集合 \(A\)：

• 对于 + 事件：指定一个尚未被指定过的价格 \(v \in [n]\)，将 \(v\) 加入 \(A\)。
• 对于 - x 事件：若满足 \(\min(A) = x\)，则从 \(A\) 中删除 \(x\)，报告成功；否则报告失败。

目标是对于每个 + 事件指定合适的 \(v\)，使得每个 - x 事件都成功。

这是困难的——一个 + 的 \(v\) 的取值往往取决于后发生的 - x 事件的 \(x\) 的取值。而若从一个 - x 事件的角度考虑，则在此事件发生之前，发生过这样的 + 事件是必要的：

• 此 + 事件的 \(v\) 被指定了 \(x\)。

我们称这样的 + 事件与此 - x 事件的关系是互相“配对“的。在题目的限制下，能与一个事件配对的事件是唯一的，且最多只可能有一个配对的事件；目标是使得每个事件都恰好有一个配对的事件。

既然能与 - x 事件配对的 + 事件总是在 - x 发生前，考虑倒序处理每个事件，并实时维护一个集合 \(S\)。假设当前处理到倒数第 \(i\) 个事件，则 \(S\) 存放着：所有尚未找到与其配对的 + 事件的 - x 事件的所有的 \(x\)。

用一段伪代码详细讲解如何维护：

---

倒序遍历每个事件：

• 若当前事件为 +

  • 若 \(S\) 为空

    • 报告无解

      因为不存在可与其配对的 - x 事件了。

  • 否则

    • 将 \(v\) 指定为 \(\min(S)\)，并从 \(S\) 中删除 \(v\)

      首先总要选一个后发生的 - x 事件配对，而且选哪个都是能配对的，直接把 \(v\) 设置成想配对的 - x 的 \(x\) 即可。但选其中 \(x\) 最小的，是最“优”的。这里的“优”定义为，若这样做不可行，没有任何一种其他方法是可行的。

      注意在处理 - x 时，判断是否无解的依据是 \(\min(S)\) 是否小于 \(x\)。

      若删除的是 \(\min(S)\)，那么删除后新的 \(\min(S)\) 必然变大；对于固定的 \(x\)，要么使得 \([\min(S) < x]\) 的结果不变，要么使得 \([\min(S) < x]\) 从 \(0\) 变为 \(1\)。

      否则 \([\min(S) < x]\) 一定不变。

      而且对任何时刻下的 \(S\) 都是如此，不受做过的决策影响。因此删除 \(\min(S)\) 一定是最“优”的。

• 否则当前事件为 - x

  • 若 \(S\) 不为空且 \(\min(S) < x\)

    • 报告无解

      意味着在当前事件发生后，还发生过一个仍未找到与其配对的 + 事件的 - x 事件，且其 \(x\)，即能与其配对的 + 事件的 \(v\)，是 \(\min(S)\)，小于当前事件的 \(x\)。

      这会导致，若在当前事件发生前的一个 + 事件的 \(v\) 被指定了 \(\min(S)\)，会使得当前事件的 \(x\) 必定无法成为 \(\min(S)\)，无法被成功删除；而在当前事件发生后，又没有 + 事件能与其配对。因此矛盾，必定无解。

  • 否则
    • 将 \(x\) 加入 \(S\)

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插入、查询最小值、删除最小值——可以使用堆维护 \(S\) 做到 \(O(n \log n)\)。

注意到若有解，每次处理 - x 事件时，只需要做一件事：将 \(x\) 加入 \(S\)；而此时必有 \(x < \min(S)\)。因此只需要维护一个栈，要加入一个数时直接将其压入作为栈顶，就可以保证栈是从栈底至栈顶单调递减的了。查询最小值，即查询栈顶；删除最小值，即删除栈顶。

时空复杂度 \(\Theta(n)\) 的参考实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int N = 100000 + 1;

char op[N + N];
int x[N + N], stk[N], ans[N];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n + n; ++i) {
        cin >> op[i];
        if (op[i] == '-') {
            cin >> x[i];
        }
    }
    int p = n, top = 0;
    for (int i = n + n; i; --i) {
        if (op[i] == '+') {
            if (!top) {
                cout << "NO\n";
                return 0;
            }
            ans[p--] = stk[top--];
        } else {
            if (top && stk[top] < x[i]) {
                cout << "NO\n";
                return 0;
            }
            stk[++top] = x[i];
        }
    }
    cout << "YES\n";
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cout << ans[i] << ' ';
    }
    cout << '\n';
    return 0;
}