更通用的容斥原理

随手一记，相信大家可以一眼看出哪些文本是我写的，哪些是 AI 生成的。

对于同一固定全集 \(U\) 上的子集 \(A_1,A_2,\dots,A_n\subseteq U\)，令 \(f:\mathcal P(U)\to G\)，
其中 \(G\) 为阿贝尔群。假设

1.（有限可加）

\[A\cap B=\varnothing \;\Longrightarrow\; f(A\cup B)=f(A)+f(B), \]

从而必有 \(f(\varnothing)=0\)；

其实有限可加很强，意思就是每个 \(x \in G\) 会带个权 \(w_x\)，一个集合 \(S\) 的权值 \(f(S) = \sum_{x \in S} w_x\)，这就是充要的了。

为什么？因为根据定义，一个集合的权值可以拆成，两个不交且并为自身的集合之和。

因此可以不断把 \(f(一个集合)\) 分裂成，\(f(\text{任意一个单元素集合}) + f(\text{剩下元素组成的集合})\)。\(f(\text{剩下元素组成的集合})\) 继续分拆，\(f(\text{任意一个单元素集合})\) 直接累计进贡献。

不难发现，贡献来自包含的每个元素，因此有限可加相当于元素带权是充要的。

2.（与补集相容；用于“交/并互换”的两条式子）

\[f(S^c)=f(U\setminus S)=f(U)-f(S)\qquad(\forall S\subseteq U). \]

我不确定这个是不是真的需要，ChatGPT 5.2 发明的这条。

则有以下三条容斥恒等式：

\[\boxed{\text{并转交}} \qquad f\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} f\left(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \dots \cap A_{i_k}\right). \]

\[\boxed{\text{交转并}} \qquad f\left( \bigcap_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} f\left(A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \dots \cup A_{i_k}\right). \]

\[\boxed{\text{交转补的交}} \qquad f\left( \bigcap_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} f\left( A_{i_1}^c \cap A_{i_2}^c \cap \dots \cap A_{i_k}^c \right), \]

其中 \(k=0\) 的内层和按约定为 \(f(U)\)（即空交为 \(U\)）。