整数二分的模板

整数二分的难点

下标越界问题

首先考虑这样的例子：
从{0，1}中找到1的下标：通常做法是l、r找到边界值0，1，当然也可以从-1、2开始，这通常不是问题；
在考虑结束条件的时候，往往考虑用l代指最后结果的下标。更新l和r用的是mid的取值，在C++等语言中，默认除2操作采用下取整，这就导致，0+1>>1永远是0，假如在找向右区间的时候，令l=mid，会陷入死循环；假如令l=mid+1，似乎解决了l的赋值问题，但是在找向左区间的时候。令r=mid，一样会面临这样的问题（这是由于这种模板利用除法的不对称性，考虑l、r不对称操作来消除）
但是这种显然增加了记忆的负担，考试的时候，边界考虑很让人抓狂，尤其是对齐问题。
下面的模板采取左右区间对称操作，只有当v[mid]和k相等的时候，才会退出，当然，这种二分找到的是严格递增序列中的下标，假如要求必须是下取整，或者上取整，也可以在后面增加向前遍历的操作。

int l=0,r=n-1;
	while(l<=r){
		int mid=l+(r-l)/2;
		if(v[mid]<k)	l=mid+1;
		else if(v[mid]>k)	r=mid-1;
		else{
			l=mid;
			break;
		}
	}
	if(v[l]!=k)	cout<<-1;

至于给出{1，2，2，2，2，2，2，2，2...2,1}总数是10^9这种数据，这样的方法就显然不适用了。这样二分效率不是会很低，但是向前遍历就会很慢了。
于是，解决这一类__下确界__的模板，就变成了，首先，推出条件不在是l>r，而是l>=r，想象l=0，r=1，此时mid=0，当要找1时，主动让l=mid+1；要找0时，主动让r=mid；同时配合mid采用下取整；解决__上确界__当要找1时，主动让l=mid；找0，r=mid-1；配合mid采用上取整；
总之，这个利用上下取整条件的二分模板关键在于，让l自由地指向1的位置，让r指向0的位置，这时再考虑mid是不是要下取整，因为无论去哪里，l和r的分支两端都只差一个下标，这样能够使得__划分完整地遍历到数轴__的每一个值。