欧拉路径和欧拉回路

欧拉路径和欧拉回路

首先，无论是有向图还是无向图，存在欧拉路径和欧拉回路的必要条件是，所有的边都是连通的

定义（口胡的）：

欧拉路径 ： 在一张图中，存在一个经过所有边的路径，并且经过每条边的次数有且仅有一次。

欧拉回路: 如果一个回路是欧拉路径，则称该回路为欧拉回路

一、无向图

• 存在欧拉路径的充分必要条件：度数为奇数的点只能有 \(0\) 或 \(2\) 个。
• 存在欧拉回路的充分必要条件：度数为奇数的点只能为 \(0\) 个。（点的度数一定都是偶数）

二、有向图

• 存在欧拉路径的充分必要条件（两者满足一种即可）：
  1. 所有点的出度均等于入度；
  2. 除了两个点之外，其余所有点的入度等于出度，剩余的两个点：一个点满足 “出度 = 入度 + 1” （起点） ， 另一个点满足 “入度 = 出度 + 1 ” （终点）。
• 存在欧拉回路的充分必要条件：所有的点的出度均等于入度。

值得注意的是，如果有自环的情况存在，为了保证算法的复杂度，利用搜完即删的方法删边

这里仅给出有向图中求解欧拉路径的代码，毕竟这系列代码思路基本相同

code

//cnt 代表欧拉路径中的节点个数，如果cnt != n 说明该图不连通，不存在欧拉路径
void dfs(int u )
	{
		for(int i = 0 ; i < 26 ; i++ )
		{
			if(g[u][i])
			{
				g[u][i]-- ;
				dfs(i ) ;
				++cnt ;
			}
		}
	}
	for(int i = 0 ; i < 26 ; i++ )
		{
			if(rd[i] != cd[i])
			{
				if(rd[i] == cd[i] + 1 )  vz++ ;
				else if(cd[i] == rd[i] + 1 ) uz++ ;
				else
				{
					pd = false ;
					break ;
				}
			}
		}
		
		if(!(!vz && !uz || (uz == 1 && vz == 1))) pd = false;
		int now = 0 ;
		while(! cd[now] )   now++ ;
		for(int i = 0 ; i < 26 ; i++ )
		{
			if(cd[i] == rd[i] + 1)
			{
				now = i ;
				break ;
			}
		}
		dfs(now ) ;
		if(cnt < n )    pd = false ;

邻接表存图版

void dfs(int u)
{
    for (int &i = h[u]; ~i;)
    {
        if (used[i])
        {
            i = ed[i].nxt ;//删边
            continue;
        }
        used[i] = true;//标记是否使用过
        if (type == 1) used[i ^ 1] = true;

        int t;

        if (type == 1)
        {
            t = i / 2 + 1;
            if (i & 1) t = -t;
        }
        else t = i + 1;

        int j = ed[i].to ;
        i = ed[i].nxt ;
        
        dfs(j);
        ans[ ++ cnt] = t;//经过边的编号，负数则为反向边
    }
}

注：\(AcWing\) 算法提高课笔记