基础图论

图论基础知识总结

spfa算法求负环问题

1. 统计每个点入队的次数，如果某个点入队 \(n\) 次，则说明存在负环 。

2. 统计当前每个点的最短路中所包含的边数，如果某点的最短路所包含的边数大于等于 \(n\) ，则也说明存在负环
   注：

   spfa在众多问题中的广泛应用，较大程度上得益于他的优秀的复杂度 \(O(n+m)\) 。但在大多数时候，spfa的复杂度是趋近于 \(O(nm)\) 的。
   所以在某些题目中我们可以是用些取巧的玄学做法。
   例如说，在spfa求负环的大多数问题中，当所有点的入队次数超过 \(2n\) 时，我们就认为图中有很大可能时存在负环的，当 \(n\) 的范围很大时，我们可以使用这种方法，以避免超时。

某些出题套路及解决方法

1、很多时候，题目中的负环不一定能从起点走到，所以在进行 \(spfa\) 的时候我们可以先将所有的节点入队。之后正常跑 \(spfa\) 就ok了。
2、\(dis\) 数组不需要赋初值

咕咕……

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2—sat问题

sat问题是适应性问题的简称，一般有单sat问题，2-sat问题，和k-sat问题三种 \((k > 2)\) ，其中 \(k-sat\) 问题是 \(NP\) 完全的 ，好像还是21世纪几个未解数学难题之一。所以这里我们讨论 \(2-sat\) 问题 。\(2-sat\) 给出几个变量和关系表达式（每个表达式只会有2个变量），每个变量只有两种状态 \(真或假\) ， 求解满足要求的一组解 。

整体做法，

基本公式 \(¬a→b∧¬b→a\)

1、第一步，如下图所示

图片来自@Anguei的博客，如有侵权请联系删除
2、第二步，考虑多解成立的情况
采用数学方法“带入解看方程是否成立”

截图来自@暗ざ之殇的博客，如有侵权请联系删除
（我只是懒_{而且人家讲的已经很好了}）
连着写了三道 \(2-sat\) ，感觉这种题有很明显的特征，你可以很容易的看出来。但是我们还要仔细分析题目找出一种具有传递性的关系。用连边的方式表示该关系。这个关系还要能够较简单的判断出答案。

所以针对2-sat问题，最重要的是分析！设计出点联通的意义