2023.7.5 CF practise

CF1174F Ehab and the Big Finale

树链剖分。
先 s 1 求出 \(x\) 所在子树 \(y\)。
若 \(y\) 为 \(1\) 轻儿子，递归求解 \(y\)。
若 \(y\) 为重儿子，那么找到重链上与 \(x\) 深度相同的节点 \(c\).
调用 d c，此时 \(c\) 向上跳 \(x\) 与 \(c\) 距离的一半便是 \(lca\)，递归求解。
相当于走了 \(x\) 向上的所有轻，重链。
由于轻链，重链数量都是 \(\log n\) 级别，所以询问次数不会超过 \(36=2O(\log n)\).

CF1322B Present

先拆位。
若第 \(k\) 位为 1，那么对于所有 \(a_i\)，能做贡献的只有 \(a_i\) 后 \(k\) 位，设其为 \(b_i\).
若 \(b_i+b_j\) 第 \(k\) 位为 \(1\)，
那么 \(b_i+b_j\in [2^k,2^{k+1}-1]\)，或 \(b_i+b_j \in [3\cdot 2^k,2^{k+2}-2]\)
把 \(b\) 排序，直接用双指针或其他数据结构处理即可。

CF1060E Sergey and Subway

显然，新图中两点的路径优先走跨越两条边的边。
\(dis(i,j)\) 表示原图中的 \(i,j\) 距离。
新图距离为 $\left \lceil \dfrac{dis(i,j)}{2} \right \rceil $.
我们发现，若原图距离为奇数，就是 \(\dfrac{dis(i,j)+1}{2}\).
那么我们先求出原图所有点对距离和，加上奇数距离的点对数，在除以 \(2\) 即为答案。
我们考虑每一条边，有多少点对经过他，就做了这么多的贡献，这样可以求出原图所有点对距离和。
奇数距离的点对数为奇数深度的点数乘上偶数深度的点数。
因为 \(dis(i,j)=dis(1,i)+dis(1,j)-2dis(1,lca)\)，而 \(2dis(1,lca)\) 不影响奇偶性。

CF1824B2 LuoTianyi and the Floating Islands

如果 \(k\) 是奇数，显然期望为 1。
如果 \(k\) 是偶数，发现，若存在两个点 \(i,j\)，\(i\) 一侧和 \(j\) 一侧分别有 \(k/2\) 个节点有人，
那么 \(i,j\) 为端点的链上所有点都可以作为 “好的结点”，即有 \(dis(i,j)+1\) 做了贡献。
考虑对每一条边计算贡献，若这条边为 \((fa_v,v)\)，那么贡献是 \(C_{size_v}^{k/2} \times C_{n-size_v}^{k/2}\)，设其总和为 \(s\)
但是我们以边算贡献，是少了 1 的，所以最后的答案是 \(\dfrac{s}{C_n^k}+1\).