证明抽象函数$f(x)$的极限存在的流程
证明抽象函数\(f(x)\)的极限存在的流程
我们先假设\(f^{(1)}(x)=G\Large{(}\normalsize{C\large{(}\normalsize{f(x)}\large{)}\normalsize{，h(x)}}\Large{)}\)，其中\(h(x)\)是与抽象函数\(f(x)\)无关的具体函数，\(\normalsize{C\large{(}\normalsize{f(x)}\large{)}}\)是\(f(x)\)的具体函数。由于\(G\)函数的映射关系过于复杂，所以一般不能通过微分方程直接解出\(f(x)\)。这个时候我们就要想到函数的单调有界收敛准则进行判断，这也就意味着最终需要得出\(C\le f^{(1)}(x)\le0\)或者\(0\le f^{(1)}(x)\le C\)。
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\(h(x)\)的放缩
由于\(h(x)\)是与抽象函数\(f(x)\)完全无关的具体函数，所以我们可以用常见的基本不等式解决放缩问题。
\[\begin{aligned} (1)、&\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}，调和平均数\le几何平均数\le算术平均数\le平方平均数；\\\\ (2)、&\frac{n}{\frac{1}{a_1}+……+\frac{1}{a_n}}\le{^n\sqrt{a_1……a_n}}\le\frac{a_1+……+a_n}{n}\le\sqrt\frac{a_1^2+……+a_n^2}{n}；\\\\ (3)、&\sin x\le x\le\tan x，其中x\in(0，\frac{\pi}{2})\\\\ (4)、&\arcsin x\le x\le\arcsin x，其中x\in[0，1]\\\\ (5)、&\frac{x}{1+x}\lt\ln (1+x)\lt x，其中x\gt0\\\\ (6)、&|a_1\pm……\pm a_n|\le |a_1|+……+|a_n|\\\\ (7)、&|\int_a^b{f(x)dx}|\le \int_a^b{|f(x)|dx} \end{aligned} \]上述便是常用的一些基本不等式了。然后加上
中值定理证明的不等式，而中值定理证明一般会因为\(\xi\)的范围产生双侧有界，这时我们就解决\(h(x)\)的放缩问题了。
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\(\normalsize{C\large{(}\normalsize{f(x)}\large{)}}\)的放缩
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\(\normalsize{C\large{(}\normalsize{f(x)}\large{)}}\)的拆分
因为\(f(x)\)只是一个
单纯的抽象函数，我们并不知道它的定义域和值域(我是说如果题目没有给的话)，所以命题人肯定会给出一个\(f(x)\)的直接外层映射\(\normalsize{C_{内}\large{(}\normalsize{f(x)}\large{)}}\)，达到控制\(f(x)\)的作用，也就是说对于任意的\(f(x)\)，\(C_{内}\)映射必然至少单侧有界，这样作为\(C_{外}\)的定义域才能使得\(C_{外}\)双侧有界。所以我们将\(\normalsize{C\large{(}\normalsize{f(x)}\large{)}}\)拆分为\(C_{外}\Large{(}\normalsize{C_{内}\large{(}\normalsize{f(x)}\large{)}}\Large{)}\)。 -
控制函数\(C_{内}\)的映射种类
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有界的反三角函数
\[\arcsin、\arccos、\arctan。定义域：\mathbb{R}，值域：(-\frac{\pi}{2}，\frac{\pi}{2})； \] -
偶数次幂的幂函数
\[如：x^2，x^\frac{1}{2}，\cdots \] -
所有指数函数
\[如：e^x，e^{-x}，\cdots \] -
有界的三角函数
\[\sin、\cos。定义域：\mathbb{R}，值域：(-1，1)； \]
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控制函数\(C_{外}\)的映射特点
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如果\(C_{内}\)是单侧有界，则\(C_{外}\)必须在定义域内有一条水平渐近线；
连续函数的有界性：如果开区间上连续函数在端点处有极限，则函数有界。
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如果\(C_{内}\)是双侧有界，则\(C_{外}\)只要不含铅锤渐进性都行；
连续函数的有界性：如果开区间上连续函数在端点处有极限，则函数有界；或者连续函数在闭区间上有界。
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结尾
假设\(h(x)\)的界是\((h_1，h_2)\)，\(\normalsize{C\large{(}\normalsize{f(x)}\large{)}}\)的界是\((C_1，C_2)\)。由于我们的分开计算的假设，所以这俩函数应该是可分离的，也就是说他们俩是独立平等地位的，那么相应的运算就是俩函数的
四则运算。-
如果是加减运算
则\((h_1\pm C_1)\ge0\)或者\((h_2\pm C_2)\le 0\)。
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如果是乘除运算
则除了除数不能等于0之外，\((h_1，h_2)\)和\((C_1，C_2)\)都不能有正有负，即不允许\(h_1\le0\le h_2\)或者\(C_1\le0\le C_2\)，只能两者的界都在同一侧，但是两者可以异侧。
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