第1章_单株树木材积的测定_第4节_伐倒木材积测定

First Div：首先需要了解的三个概念 ===》
1. 伐倒木：树木伐倒横卧在地，砍去枝桠，留下的净干称为伐倒木；

2. 完顶体：具有完整树梢的树干；

3. 截顶体：截去树梢的树干部分；

　　
　　
Second Div：求积式 ===》
一. 一般求积式 ===》

1. 完顶体 ===》

　　(ⅰ). r = 0时，V = g₀·L 　　　 —— 圆柱体；
　　(ⅱ). r = 1时，V = (1/2)·g₀·L —— 抛物线体；
　　(ⅲ). r = 2时，V = (1/3)·g₀·L —— 圆锥体；
　　(ⅳ). r = 3时，V = (1/4)·g₀·L —— 凹曲线体；
　　
　　
2. 截顶体 ===》
原理：将梢头也当做一个完整的树干，那么两次运用完整体的一般求积式可得，前提是r≠0 ：
由已知：

得到：

　　
　　
　　
二. 近似求积式 ===》

1. 平均断面近似求积式 ===》
由截顶体的一般求积式：

此时我们将整棵树的r看做是一个，此时有 ===》
　　(ⅰ). r = 1，树干为抛物线体，代入上式有：

　　(ⅱ). r = 0，树干为圆柱体，也是成立的；
　　
得到平均断面的近似求积式为：

　　
　　
2. 中央断面近似求积式 ===》
由平均断面近似求积式，我们将r=1代入，也就是说当树干为抛物线体的时候有：

并且r=0时，树干为圆柱体，上述等式也成立。这就是中央断面近似求积式。
　　
　　
3. 误差分析 ===》

First Div：两种误差大小的分析 ===》

前提：我们假设此时用的r=1，并且实际上的树木也是只拥有一个r，那么考虑完顶体有 ===》

　　(ⅰ). 用平均断面近似求积式的误差：

　　
　　(ⅱ). 用中央断面近似求积式的误差：
由中央断面与基面的关系：

可得中央断面近似求积式的系统误差为：

　　
总结：
　　·当r＜1时，ε_avg＜0，ε_mid＞0；
　　·当r＞1时，ε_avg＞0，ε_mid＜0；

　　

Second Div：将两者结合以尽可能的消去误差 ===》

不难发现平均断面近似求积式的误差总是和中央断面求积式的误差相反，所以就可以尝试构造一个带有两个权重的式子，来尽可能的将他们消除 ===》
牛顿近似求积式：
　　(ⅰ). 计算结果为：

　　
　　(ⅱ). 系统误差为：

　　
　　
4. 总结 ===》
　　(ⅰ). 一般求积式的理念就是：为了简化树干的模型，使得它们的材积更容易被求得，我们假设此树干的大部分都是r为某一个值，那么它的材积就可以近似的用“一般材积式”来表示，分为完顶体和截顶体；

　　(ⅱ). 为了进一步简化“一般求积式”，我们将r=1或0时成立的材积表达式推广到了所有，形成了近似求积式，分为“平均断面近似求积式”、“中央断面近似求积式”；

　　(ⅲ). 此时分析误差，为了简化过程(去掉g_n，即让g_n=0)，我们将r=1时的完顶体材积表达式作为所有情况时的材积表达式。不难得知，它们将r≠1时的误差进一步扩大，但是由于两种方法产生的误差恰好相反，所以人们通过给出这两种误差它们各自的权重，构造了“牛顿近似求积式”，试图将误差尽量中和。
　　换句话说就是，人们试图通过构造一个新的函数去弥补简化所带来的误差。不知道在座的各位有没有想过：“为什么让它产生误差后又费劲心思构造函数来消除误差，为什么不能一开始就按复杂的方法算呢？”。
　　这样的方法看似很蠢，但实则蕴涵了大智慧，大家试想一下我们求函数与x轴所围成的面积时，是不是先微分后积分，这告诉我们：我们可以将问题分块儿来研究，积分可以看成是许多个性质相同的微小变元之和，同理，一个真实的函数可以被拆成两个部分：f(x) = P(x) + R(x)，其中P(x)是f(x)的近似函数，R(x)就是对P(x)的改正，也就是误差的相反数；

　　(ⅳ). 对于完顶体来说，以上的近似求积式都成立，无非就是当r=1的时候g_n=0、r=0的时候g_n=g₀；
　　
　　
　　
三. 近似区分求积式 ===》

由于将树干的形状指数r看做一个值而产生的误差对于精密测量来说实在是太大了，所以人们不得不另寻思路去接近树木材积的真实值。

我们由孔慈干曲线可以知道一棵树有四个部分组成，所以我们可以分别求这四个区域的材积，然后再求和得到总的材积。但是这里存在一个新的问题：“如何找到这四个部分的三个分割横截面呢？”，很显然这无疑就增大了不少的难度，即使找到了，孔慈干曲线也是有误差的，所以一般不会采用这种方式。好在天无绝人之路，我们由“近似求积式”可以知道，当r=1或0的时候是满足:

显然这个式子对于抛物体或圆柱体任一小段均成立，所以，我们就可以将整个树干分为截顶体和梢头 ===》
　　(ⅰ). 其中梢头一般是圆锥体(通常是不足一个l的l')，就直接用圆锥体的体积公式来求得；

　　(ⅱ). 截顶体就分为等距的n个小段，小段的长度为l(通常的取值为1或者2m)，用上述的“近似求积式”公式。
注释：这时，当l小到一定的程度时r=3时的凹曲线体和一部分的r=2时的圆锥体会产生误差，梢头会产生误差的原因就是这是因为但是一般的树干凹曲线体部分(根基部位)和梢头那一小段占的比例比较小，所以这个误差倒也不是很大；

First Div：两种断面区分求积式 ===》

1. 中央断面区分求积式 ===》

式中：g₁, g₂, ..., g_n分别为各区分段的中央断面积，l为区分段长，l'为梢头长，g'为梢头底面积。
　　
　　
2. 平均断面区分求积式 ===》

 

 

式中：g₁, g₂, ..., g_n分别为各区分段的梢端断面积，l为区分段长，l'为梢头长，g₀为根基底面积。
　　
　　
Second Div：区分求积式的精度 ===》

我们以中央断面区分求积式求截顶体的体积为例，由每一小段l的体积(材积)为：g_i = πp·x_i^r，可得：

 

1. 我们知道对于r=1或者0的树干来说，任一小段都满足上述两种断面区分求积式，所以在这两种情况下不会存在误差，这时我们就来看一下在r=2或3的情况，每一小段的材积 ===》
　　
　　(ⅰ). r = 2时，中央断面区分求积式可写成：

　　
　　(ⅱ). r = 3时，中央断面区分求积式可写成：

　　
　　
2. 由于我们是按照r=1或者0时来算这些段的，所以他们每一小段的误差(误差改正的相反数)就是 ===》

　　(ⅰ). r = 2时：

式中，ε_{i_mid_2}表示r=2是的树干在第i小段，用中央断面求积式的误差；
　　
　　(ⅱ). r = 3时：

式中，ε_{i_mid_3}表示r=3是的树干在第i小段，用中央断面求积式的误差；

　　
　　
3. 所以我们将他们分别累加，得到整段上的误差 ===》

注释：这里我们忽略了n增加时，由于l'<l而导致的L增加，也就是说我们选好了截顶体之后就不会再变化了，所以l = (L/n)，L不变。

　　(ⅰ). r = 2时，整体的区分断面求积式的误差：

式中，k_r=2为在r=2分段—也就是(Ⅳ)段—中的分段数与n的比值，这其实是l_r=2与L的比值。
　　
　　(ⅱ). r = 3时，整体的区分断面求积式的误差：

式中，k_r=3为在r=3分段—也就是(Ⅰ)段—中的分段数与n的比值，这其实是l_r=3与L的比值。
　　
注释：由于之前说了，那四个部分的分割横断面是很难找到的，所以k只是一个概念性的东西，所以我们一般用最大误差来表示误差。
　　
　　
4. 这个时候我们发现不管r为2还是3，误差都是与n2成反比，所以我们可以构造这样一个函数：

式中，P1是n=1时的区分断面求积式误差，即近似求积式的误差。

所以，根据这个公式，我们知道，对树干的分段越多，那么这个误差就越小。但是也不能划分得太小，因为这样会导致工作量加大。