第1章_003_概率的定义和性质

一. 概率的公理化定义 ===》

设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一个随机事件A都赋予一个确定的实数P(A)，且事件函数P(·)满足以下三个条件 ===》

1. 非负性: P(A) ≥ 0。

2. 规范性: P(Ω) = 1。

3. 可列可加性: 如果A₁, A₂, ..., A_n, ...这些事件两两互斥，则有 ===》

P(A₁ + A₂ + ... + A_n + ...) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n) + ...

则称P(A)为事件A发生的概率。

 

 

二. 概率的6大性质 ===》

1. 三个基本的性质(什么是概率) ===》

--(1). 性质1(非负性): P(A) ≥ 0。用于"夹逼": 0 ≤ P(A) ≤ 0 ===> P(A) = 0。右边由P(A) = P(φ∩Ω) = P(φ) = 0得到。

--(2). 性质2(规范性): P(φ) = 0，P(Ω) = 1。但是反之则不成立(事件 ---> 概率，概率 -\-> 事件)。

--(3). 性质3(有限可加性): 如果A₁, A₂, ..., A_n这些事件两两互斥，则有 ===》

P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n)。

 

2. 三个基本概率公式(如何求概率) ===》

--(1). 加法公式:主要将两个事件、三个事件的加法公式背下来就行.

　　1st. 两个事件相加: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)。

　　2nd. 三个事件相加: P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) - P(ABC)。

--(2). 减法公式: P(A - B) = P(A) - P(AB) = P(A‾B‾)，证明如下 ===》

　　1st. 对于第一个等式: P(A - B) = P(A) - P(AB)，虽然一眼瞄不出来，但是仔细观察就会发现，A - B = A - AB，而且显然有A - AB事件与AB事件是互斥的，所以有性质3(有限可加性)得: P[(A - AB) ∪ AB] = P(A - AB) + P(AB)，而(A - AB)∪AB = A，所以最终得出P(A) = P(A - AB) + P(AB)，等式两边同时减去P(AB)即有: P(A - B) = P(A) - P(AB)。

　　2nd. 对于第二个等式: P(A - B) = P(A‾B‾)，由"第1章_002_事件的关系及运算"中的差运算可知: A - B = A‾B‾。

--(3). 逆事件的概率: P(‾A‾) = 1 - P(A)。当遇到至少、不少于 / 至多、不多于的时候，采用正难则反的原则。

 

3. 三大基本公式的考法 ===》

三大基本公式不会单独存在，一般会与"第1章_002_事件的关系及运算"放在一起考察，往往是给出事件之间的关系，然后再考概率的三大基本公式。所以要学会利用概率的三大基本公式化简事件之间的关系。