用隐函数求导解决高中约束极值问题

用隐函数求导解决高中约束极值问题

注

前置芝士：导数

步骤并不规范，但这是想不到怎么用基本不等式时的后手，能算就行

引言

约束极值问题是高中基本不等式的重要题型之一，比如下面的

\[\begin{gathered} x^2+y^2=1+xy，求xy的最大值 \end{gathered} \]

那么如果基本不等式无法一眼出答案怎么办呢？下面便介绍一种通用且简单（指比拉格朗日乘数法简单）的解法：隐函数求导

过程

我们先考虑\(xy\)对\(x\)求导，用了乘积法则：

\[\frac{d(xy)}{dx}=y\frac{dx}{dx}+x\frac{dy}{dx}=y+x\frac{dy}{dx} \]

因此我们只要求出\(\frac{dy}{dx}\)就能得出\(xy\)关于\(x\)的变化情况

那么我们怎么得出这个东西呢？让原方程两边对\(x\)求导

\[\frac{d(x^2)}{dx}+\frac{d(y^2)}{dx}=\frac{d(1)}{dx}+y+x\frac{dy}{dx} \]

\(\frac{d(1)}{dx}\)和\(\frac{d(x^2)}{dx}\)显然都是好求的，分别为\(0\)和\(2x\)，对于\(\frac{d(y^2)}{dx}\)我们可以使用链式法则:

\[\frac{d(y^2)}{dx}=\frac{d(y^2)}{dy}·\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx} \]

带入，这里我们可以把\(\frac{dy}{dx}\)当成个变量好理解

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=y+x\frac{dy}{dx} \]

欸那这里移项一下

\[\begin{gathered} (2y-x)\frac{dy}{dx}=y-2x\\ \frac{dy}{dx}=\frac{y-2x}{2y-x} \end{gathered} \]

神奇吧（）这里的导数带\(y\)看起来很奇怪，不过问题不大我们先带回\(xy\)对\(x\)的导数

\[y+x\frac{dy}{dx}=y+\frac{xy-2x^2}{2y-x} \]

我们令这个导数\(=0\)，并有\(x≠2y\)（\(x=2y\)情况也要分类讨论，但跟下面差不多懒得写了，反正不是最终答案），此时\(xy\)处于极值点（也有可能是极小值）

\[\begin{gathered} y+\frac{xy-2x^2}{2y-x}=0\\ 2y^2-xy+xy-2x^2=0\\ x^2=y^2\\ 得y=±x \end{gathered} \]

既然只有两个极值点，我们可以分别带入判断到底是最大还是最小（有非暴力带入的通用判断法，即为求二阶导数，但太复杂请自行bdfs）

\(x=y\)带入原约束方程得出\(x\)坐标：

\[\begin{gathered} x^2+x^2=1+x^2\\ x=±1 \end{gathered} \]

则\(xy=1\)

\(x=-y\)带入原约束方程得出\(x\)坐标：

\[\begin{gathered} x^2+x^2=1-x^2\\ x^2=\frac{1}{3}\\ x=±\frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered} \]

则\(xy=-\frac{1}{3}\)

所以\(xy\)的最大值为\(1\)

你学会了吗？

没学会可以买一本普林斯顿看看（

编辑：司马只因锥

校验：deepseek，司马只因锥