论如何用同余妙证集合之间的关系

论如何用同余妙证集合之间的关系

注

本文的例题来自于五三

对于模数的选取其实我自认为讲的也是很不清楚，后续我要是想到怎么去更好的描述再改，实际应用建议多列数去找一下这个的规律，这很重要，如果选错是不能证明命题的

如果有其他补充或者纠错敬请提出哦

引言

对于几个无限集的关系运算时，有时难以看出其之间的关系，通常使用代数方法进行变换（当然你可以直接代数枚举集合里的元素，不过这里讨论的是严谨证明），比较复杂，因此推荐使用同余解决

同余通过对元素逐一取模使其从原本的无限集压缩为有限余数系，使其关系更加显而易见（可以理解为哈希）

前置知识

如果你了解取模运算，可以直接跳过这一部分

取模运算在两个数都是正数的时候实际上就是求余数，这个小学就学过，对于负数的取模运算建议仔细看看别搞混了

以下出现的所有字母代表的都是整数

对于取模运算\(a\ mod\ b=r\)，定义\(r=a-b·⌊\frac{a}{b}⌋\)，其中\(⌊\ ⌋\)​​是向下取整符号

注意到\(r\)满足\(0≤r<b\)

比如:\(7\ mod\ 3=1\)，\(-1\ mod\ 2=1\)(注意\(⌊\frac{-1}{2}⌋=-1\)​哦)

那么如果等号（不过这里我们用恒等号\(≡\)）两边对整数\(p\)进行取模运算后相等，我们称这两个数同余，写作

\[a≡b(mod\ p) \]

\((mod\ p)\)放最后只写一遍，再举个例子：\(7≡4(mod\ 3)\)​

定义集合\(A\)对于模数\(p\)的余数系是\(A\)中所有元素对\(p\)取模结果的集合，即\(\{x|x=a\ mod\ p,a∈A\}\)

正文

那么这些东西有什么用呢？

如果我们对一个无限集里每一个元素都对\(p\)取模，那么相当于把一个无限大的集合压成一个有限集，方便我们去判断集合之间的关系，但注意这一步要有独特性，不能几个不同的集合取模后变成同一个集合了

直接看一个例子吧

试着证明以下两个集合不等价：\(A=\{x|2k-1,k∈Z\},B=\{x|2k,k∈Z\}\)

我们可以一眼就看出来一个奇数集一个是偶数集，不过别急，按照同余的思路想想怎么证明

同余解决这种题的核心思想是通过取模提取每个集合的特征，重点是选择合适的模数

这个特征必须是这个集合满足，且其他不同集合不满足的特征

相当于你要找到一个给每一个集合打标签的方法，使得这样打标签后不同的集合有不同的标签，你可以根据这个标签对应回去找到这个原始集合，如果两个集合的标签（余数系）一样，就可以证明两个集合等价

选的模数算出来的余数系满足对原集合的每一段（看图）

形式化的，设两个不同集合\(P,Q\)，证明他们俩不同，我们要找的\(p\)必须满足\(\{x|x=a\ mod\ p,a∈P\}\)与\(\{x|x=b\ mod\ p,b∈Q\}\)​不等价

如果是证明相同，就需要\(设B=\{x|x=a\ mod\ p,a∈A\}\)，满足对于任意\(n∈Z,b∈B\)，使得\(np+b∈A\)​

看不懂？画个图说点形象的吧

比如证明集合\(A=\{x|x=4k+1,k∈Z\},B=\{x|x=4k-1,k∈Z\},A≠B\)

如果我们选\(p=2\)，两余数系都为\(\{1\}\)​，但显然两集合不等价，为什么呢？

我们用长度为\(2\)的框框一下集合\(A\)​对应的数轴，有数字的格子就是集合里有的元素，数字在框里的位置表示取模的结果，发现有些框是空白的，我们忽略了这些空白，抽象的说就是这样提取的特征是不普遍使用于整个整数集合的

而\(p=4\)就完美适用，\(A\)的余数系为\(\{1\}\)，\(B\)则为\(\{3\}\)，不等价

引用deepseek对此的形象解释:

选择模数就像选择筛子的孔洞大小——孔太小（如p=2）会让不同集合的颗粒漏到同一个格子，孔合适（如p=4）才能有效分离

这确实是很抽象的东西

回到刚才的例子，我们根据直觉注意到\(p=2\)

\[(2k-1)≡-1≡1(mod\ 2) \]

因此集合\(A\)内的所有元素对\(2\)取模都为\(1\)

\[2k≡0(mod\ 2) \]

因此集合\(B\)内的所有元素对\(2\)取模都为\(0\)，得证\(A≠B\)

什么？没觉得同余好用？那我们看个更复杂的例子

\(A=\{x|x=3k-1,k∈Z\},B=\{x|x=3k+1,k∈Z\},设a∈A,求证2a∈B\)

我们可以看出来提取两集合的特征应该让\(p=3\)

\[\begin{gathered} 集合A:(3k-1)≡-1≡2(mod\ 3)\\ 即a≡2(mod\ 3)\\ 集合B:(3k+1)≡1(mod\ 3)\\ 根据前文可得2a≡4(mod\ 3)\\ ∵4≡1(mod\ 3)，B中所有的元素取模后为1\\ ∴2a∈B \end{gathered} \]

那有的时候题面给的不是整数怎么办？

比如:\(A=\{x|x=\frac{1}{9}(2k+1),k∈Z\},B=\{x|x=\frac{4}{9}k±\frac{1}{9},k∈Z\}\)，证明两集合等价

我们发现对两个集合的所有元素同时加减乘除实际上不会影响两个集合之间的关系，那就同时乘\(9\)转化为整数

得\(A=\{x|x=2k+1,k∈Z\},B=\{x|x=4k±1,k∈Z\}=\{x|x=4k+1,k∈Z\}∪\{x|x=4k-1,k∈Z\}\)

前面我们说过了这里\(p=4\)

取\(p=4\)计算后得到\(A\)的余数系为\(\{1,3\}\)，B的为\(\{1,3\}\)，二者相同，得证

总结

综上所述，熟练运用取模运算可以极大减小该类题型的思维难度，愿各位爱上数论喵(bushi)