这里会收集一些我（可能）原创的数学题。这些题我都做不出来。

1.

给定素数 \(p\equiv1\pmod4\) 及其原根 \(g\)，假设 \(\theta=\frac{2\pi}p\)，证明

\[(\sum_{k=1}^{\frac{p-1}4}\cos(g^{2k}\theta))(\sum_{k=1}^{\frac{p-1}4}\cos(g^{2k+1}\theta))=\frac{1-p}{16} \]

我是怎么出这题的？

从 \(p=17\) 的情况出发，左侧等于 \(-1\) 是一个画正十七边形非常常用的等式。我又尝试了 \(p=13\) 和 \(p=29\)，发现两个值刚好都等于 \(-\frac34\) 和 \(-\frac74\)。我立即注意到了这个线性关系，并且写了下来。

官方解法

见我的 Medium 博客。

2.

给定正整数 \(m\ge2\)，计算让

\[\log_{\log_{\log_{\cdots\log_{n}(n+1)}(n+2)}... (n+m-1)}(n+m) \]

有意义的正实数 \(n\) 的区间。一共嵌套了 \(m\) 层 \(\log\)。

我是怎么出这题的？

乱按计算器按出来的。

官方解法

目前没有。

3.

找到最大的正实数 \(k\)，满足

\[\sum_{\mathrm{cyc}}a^{10}(a-b)(a-c)\ge k\prod_{\mathrm{cyc}}(a-b)^4 \]

对于非负实数 \(a,b,c\) 恒成立。（你只需要给出 \(k\) 的最小多项式，或证明 \(k\) 是超越数。）

我是怎么出这题的？

注意到

\[\sum_{\mathrm{cyc}}a^4(a-b)(a-c)\ge k\prod_{\mathrm{cyc}}(a-b)^2\\ (\sum_{\mathrm{cyc}}ab)(\sum_{\mathrm{cyc}}a^2(a-b)(a-c))\ge k\prod_{\mathrm{cyc}}(a-b)^2\\ (\sum_{\mathrm{cyc}}a^2b^2)(\sum_{\mathrm{cyc}}(a-b)(a-c))\ge k\prod_{\mathrm{cyc}}(a-b)^2 \]

这三个东西的最大 \(k\) 分别是 \(5,3,1\)。我就想，如果推广到 \(12\) 次，会发生什么情况？

官方解法

4.

证明

\[\int_0^1\frac{\ln(1-x)\ln(x)\ln(1+x)}{x-x^5}\mathrm{d}x=\frac7{16}\mathrm{Li}_4(1/2)+\frac78\zeta(3)\ln2-\frac1{96}\pi^2\ln^{2}2+\frac7{384}\ln^{4}2-\frac{27}{5120}\pi^4 \]

我是怎么出这题的？

同学给了我左边这个定积分。我用 PARI/GP 计算了一下这个积分的数值解，以及可能的闭形式表达：

? default(realprecision, 1000)
? I_val=intnum(x=0, 1, log(1-x)*log(x)*log(1+x)/(x-x^5));
? basis=[I_val, Pi^4, log(2)^4, Pi^2*log(2)^2, zeta(3)*log(2), polylog(4, 0.5), Catalan^2, Catalan*Pi, Catalan*log(2)^2];
? lindep(basis)
[-15360, -81, 280, -160, 13440, 6720, 0, 0, 0]

结果非常干净。我又进行了数值验证，确认了这个等式在数值上成立，于是出了这题。