终于也是第十篇了呢！主编也很开心~

一些常数 & 公式收集

下方 Hyperdescent、P2B3、BBP 均指 y-cruncher 对应的名称，详见这里。Result 指通过上述级数可以间接得到的结果，后面会附上前三者中的一个，使用到的里面先选取 P2B3 再选取 BBP 最后选取 Hyperdescent。Exact 指精确值。

如果列出的公式不是最有效的计算方法，或没有提供计算方法，那么不会标注。

\(e\) 相关

\(e=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac1{k!}\approx2.7182818284590452353602874713526624978\) Hyperdescent

\(\frac1e=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\approx0.36787944117144232159552377016146086745\) Hyperdescent

\(e^e\approx15.154262241479264189760430272629911906\) Result - Hyperdescent

\(\sqrt[e]{e}\approx1.4446678610097661336583391085964302231\) Result - Hyperdescent

\(\ln2=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{2}{(2j+1)3^{2j+1}}\approx0.69314718055994530941723212145817656807\)

\(\ln3=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{(2j+1)2^{2j}}\approx1.0986122886681096913952452369225257047\) BBP

更快的收敛公式见 喵喵喵 XII。Result - P2B3

\(\pi\) 相关

\(\pi=4\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\approx3.1415926535897932384626433832795028842\) P2B3

\(\frac1\pi=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(42k+5)}{2^{12k+4}}\binom{2k}{k}^3\approx0.31830988618379067153776752674502872407\) P2B3

更快的收敛公式见 喵喵喵 XII。

\(\exp(\pi)\approx23.140692632779269005729086367948547380\) Result - P2B3

\(\exp(\pi\sqrt d)\) 的讨论见 喵喵喵 XI。

\(\pi^e\approx22.459157718361045473427152204543735028\) Result - P2B3

\(\exp(\pi\sqrt{-1})=-1\) Exact

\(\zeta\) 相关

\(\zeta(2)=\frac{\pi^2}6\approx1.6449340668482264364724151666460251892\) Result - P2B3

\(\zeta(3)=\frac52\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}n}\approx1.2020569031595942853997381615114499908\) P2B3

\(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\approx1.0823232337111381915160036965411679028\) Result - P2B3

\(\zeta(5)\approx1.0369277551433699263313654864570341681\)

\(\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}\approx1.0173430619844491397145179297909205279\) Result - P2B3

\(\zeta(2n)=\frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}\) 其中 \(B_n\) 是第 \(n\) 个 Bernoulli 数 Exact

\(\zeta(0)=-\frac12\) Exact

\(\zeta(-1)=-\frac1{12}\) Exact

\(\zeta(-2n)=0,n\in\mathbb{Z}^+\) Exact

\(\zeta(-3)=\frac1{12}\) Exact

三角函数

\(\sin(1)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\approx0.84147098480789650665250232163029899962\) Hyperdescent

\(\cos(1)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\approx0.54030230586813971740093660744297660373\) Hyperdescent

\(\tan(1)\approx1.5574077246549022305069748074583601731\) Result - Hyperdescent