2026年牛客多校第三场个人题解

因为比较忙，我只做了F和两个签到题。

F

这个数据范围很容易让我们想到状压。

对于每列的状态数是 $3^n$ 种，但是其实能够发现，真正合法的状态数不会太多。

爆搜出所有有效状态，发现在 $n=9$ 的情况下是 $782$ 种。

仔细想一想这个数字是怎么来的。

对于前两个位置，我们的选法是有以下六种：$01,02,10,12,20,21$；

对于后续的任意一个位置，只有两种选择：

等于$s_{i-2}$的位置
等于$3\oplus s_{i-1}\oplus s_{i-2}$ （写的比较抽象，实际上也就是那个没有出现的颜色）

即，任意一个位置都有两种选择。

故，方案数是$6\times 2^{n-2}$。

我们将上述的两种选择分别记成 $0,1$，可以压缩成一个二进制的状态，且前两个位置固定成$01$，最后可以让整个方案数乘$6$。

设$dp_{k,sta}$表示当前已经递推到了第$k$个位置，当前的二进制状态为 $sta$ 的方案数。

可以考虑递推：

$dp_{k,i}= \sum dp_{k-1,j} \times A_{j,i}$

其中，预处理出$A_{i,j}$表示对于某个二进制状态$i$转移到二进制状态$j$的方案数。

对于任意 $k-1$ 到$ k $ 的递推式的转移是相同的，于是你可以使用矩阵快速幂优化该转移。

$dp_k=A^{k-1}$。

这道题，我们钦定了前两个位置为$01$，最终的方案数乘$6$。

设$D=2^{n-2}$时间复杂度为$O(D^3\log m)$。

似乎有一些$n=1,m=1$时的特判需要写。

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first 
#define se second
#define pb push_back

using ll=long long;
using namespace std;
typedef pair<int,int>pii;
const int N=800;
const int mod=998244353;
struct Matrix {
    int h,l;
    vector<vector<int>>v;
    Matrix():v(N,vector<int>(N,0)){}
    Matrix(int H,int L,bool one=0):h(H),l(L),v(H+2,vector<int>(L+2,0)){
        if(one) for(int i=0;i<h;++i) v[i][i]=1;
        return;
    }
    Matrix(int H,int L,vector<vector<int>>vv):h(H),l(L),v(vv){
    }
};
Matrix operator *(const Matrix &x,const Matrix &y) {
    Matrix ans(x.h,y.l);
    for(int i=0;i<x.h;++i) for(int k=0;k<x.l;++k){
        if(x.v[i][k]==0)continue;
        for(int j=0;j<y.l;++j)ans.v[i][j]=(ans.v[i][j]+1ll*x.v[i][k]*y.v[k][j])%mod;
    } 
    return ans;
}
Matrix ksm(Matrix x,int p) {
    Matrix ans(x.h,x.l,1);
    while(p) {
        if(p&1) ans=ans*x;
        p>>=1,x=x*x;
    }
    return ans;
}
ll qpow(ll x,int y){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1)res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
void Silverwolf(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<int>col(n+1,0);
    int cnt=0;
    int res=0;
    vector<string>vt;
    auto dfs=[&](auto &&dfs,int pos,string now)->void{
        if(pos==n+1){
            vt.push_back(now);
            return;
        }
        if(pos==1){
            for(int i=0;i<=2;i++){
                col[pos]=i;
                char ch='0'+i;
                // cout<<ch;
                dfs(dfs,pos+1,now+ch);
            }
        }else{
            for(int i=0;i<=2;i++){
                if(col[pos-1]!=i){
                    col[pos]=i;
                    char ch=i+'0';
                    dfs(dfs,pos+1,now+ch);
                }
            }
        }
    };
    dfs(dfs,1,"");
    if(m==1){
        cout<<vt.size()<<'\n';
        return;
    }
    if(n==1){
        //01
        //02
        //10
        //12
        //20
        //21 后面每一位都有两种选择
        ll ans=qpow(2,m-2);
        ans=ans*6%mod;
        cout<<ans<<'\n';
        return;
        
    }
    
    int sz=vt.size();
    vector<vector<int>>ma(sz/6,vector<int>(sz/6,0));
    for(int i=0;i<sz/6;i++){
        for(int j=0;j<sz;j++){
            auto chk=[&](string a,string b)->bool{
                for(int k=0;k<a.length();k++){
                    if(a[k]==b[k])return false;
                }
                return true;
            };
            auto get_2=[&](string b)->int{
                int num=0;
                for(int k=2;k<b.length();k++){
                    int now=b[k]-'0';
                    int lst=b[k-1]-'0';
                    int lst2=b[k-2]-'0';
                    if(now!=lst&&now!=lst2)num=num*2+1;
                    else num=num*2;
                }
                return num;
            };
            if(chk(vt[i],vt[j])){
                ma[get_2(vt[i])][get_2(vt[j])]++;
            }
        }
    }

    Matrix matrix(sz/6,sz/6,ma);
    //你发现状态数最多768种
    Matrix a=ksm(matrix,m-1);

    ll ans=0;
    for(int i=0;i<sz/6;i++){
        for(int j=0;j<sz/6;j++){
            ans=(ans+a.v[i][j])%mod;
        }
    }
    ans=ans*6%mod;
    cout<<ans<<'\n';
    
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    // init();
    // int T;cin>>T;while(T--)
    Silverwolf();
    return 0;
}

还做了下L和K。

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F

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