集合的划分（setsub）

题目描述

设\(s\)是一个具有\(n\) 个元素的集合，\(s＝\{a_1，a_2，\dots，a_n\}\)，现将
\(s\)划分成 \(k\) 个满足下列条件的子集合 \(s_1,s_2,\dots,s_k\) ，且满足：
1．\(si≠\emptyset\)
2．\(si\bigcap sj＝\emptyset (1\le i，j\le k,i≠j)\)
3．\(s_1\bigcup s_2\bigcup s_3\bigcup\dots\bigcup s_k＝s\)
则称\(s_1，s_2，\dots，s_k\)是集合\(s\)的一个划分。它相当于把\(s\)集合中的
\(n\) 个元素\(a_1,a_2,\dots,a_n\) 放入\(k\)个\((0<k≤n<30)\)无标号的盒子中，使
得没有一个盒子为空。请你确定\(n\) 个元素\(a_1,a_2,\dots,a_n\) 放入\(k\) 个
无标号盒子中去的划分数\(s(n,k)\)。

输入

一行两个整数\(n、k\)

输出

一行，一个整数\(s(n,k)\)

样例输入

10 6

样例输出

22827

思路：

对于\(a_n\)个，考虑：

① 若单元素集合\(\{a_n\}\)是\(k\)个集合中的一个，则剩下的\(n-1\)个元素组成剩下\(k-1\)个集合，集合总数为\(dp[n-1][k-1]\)；

② 若单元素集合\(\{a_n\}\)不是\(k\)个集合中的一个，则可以暂时不考虑\(a_n\)这一项，共有\(dp[n-1][k]\)个集合。此事考虑将\(a_n\)置于其中一个集合中，有\(k\)种可能，集合总数为\(k\times dp[n-1][k]\)。

总递推式：

​ \(dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+j\times dp[i-1][j]\)

特判为\(\forall i\in \operatorname{N}^+ ,\quad dp[i][1]=1\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f,N = 3e1+5;
int dp[N][N];
int n,k;
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&k);
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
		dp[i][1] = 1;
	for(int i = 2 ; i <= n ; i ++)
		for(int j = 2 ; j <= i ; j ++)
			dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + j * dp[i-1][j];
	printf("%d",dp[n][k]);
	
	return 0;
}