2020.10.13辗转相除法

简介：

辗转相除法，用于求两个整数的最大公因数

辗转相除法[gcd(x,y)]；

CSP写法

在CSP-S 2020中，学会写法为：

int gcd(int u,int v){
      if(v == 0) return u;
      return gcd(v, u % v);
}

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课堂讲法

今日上课讲法为：

int m , n , r ;
	scanf("%d %d",&m,&n);
	for( r = m % n ; r ; ) {
		m = n ;
		n = r ;
		r = m % n ;
	}
	printf("%d",n);

(校内还未讲函数相关内容）

证明辗转相除法成立：

对于要取公因数的\(x\),\(y\)，
若\(y>x\)，则必有：\(y=kx+r\)（\(k\)为\(\frac{y}{x}\)的商，\(r\)为余数）

1. 若\(r=0\)，则k为最大公因数，返回值为\(\frac{y}{x}\)

2. 若\(r!=0\)，则可设最大公因数为\(d\)。
   设\(y=ad\)，\(x=bd\)
   那么可以写为：\(ad=kbd+b\)⇒\(r=ad-kbd=(a-kb)d\)，则\(d\)也能整除\(r\)。所以\(d\)同时也是\(b\)与\(r\)的最大公因数。

• 以此类推，可得：\(f=k_1b+r_1\)；
• \(g=k_2r_1+r_2\)
• \(r_1=k_3r_2+r_3\)
• ……
• 直到得到\(r_n=k_{n+2}r_{n+1}\)
  得到递归为“CSP写法”。则得到\(r_n \% r_{n+1} = 0\)时等同于\(①\)情况，返回值为上一位的\(r_{n-1} \% r_n\)
  
  
  
  
  
  

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完结撒花

奇怪的东西

//据说<algorithm>库里有现成的__gcd(x,y)函数？

stl_algo.h

  template<typename _EuclideanRingElement>
    _EuclideanRingElement
    __gcd(_EuclideanRingElement __m, _EuclideanRingElement __n)
    {
      while (__n != 0)
	{
	  _EuclideanRingElement __t = __m % __n;
	  __m = __n;
	  __n = __t;
	}
      return __m;
    }