插值与拟合

插值

已知函数在一个区间上的若干个离散的点，需要求解这些节点之间的函数值时，常用满足一定条件的函数替代该函数。插值法和拟合法是两种常用的方法。

插值函数需要过已知节点，拟合函数则不需要，只需要在某种意义下这些节点的总偏差最小。

一维插值

常见插值方法有拉格朗日插值法，分段线性插值法，样条插值法。

节点数n较大时，拉格朗日插值多项式次数高，计算复杂，会带来误差；
分段线性插值函数收敛但不光滑；
抽条插值函数光滑连续，插值误差小，较为常用。若每个节点区间内的多项式插值函数为m次，则称插值函数为m阶。

python的scipy实现插值函数

from scipy.interpolate import interp1d

x=[] # 节点数据
y=[]

# kind可取nearest,zero,slinear,quadratic,cubic
## nearest,zero为阶梯插值
## slinear 为线性插值
## quadratic，cubic 为2阶，3阶样条曲线插值
kind='cubic'
f=interp1d(x,y,kind=kind) # kind类的插值函数

二维插值

若节点是二维，插值函数就是二维函数

py实现二位插值函数

# 二维插值
x,y=[],[] # 节点x-y
z=[] # 节点z

# kind同上
f_2d=interp2d(x,y,z,kind='cubic')

曲线拟合

python拟合任意数据和曲线并求函数表达式

多项式拟合

数学上可证明，任意函数都可以表示为多项式。

# 多项式拟合
## deg为多项式阶数
def PolyFit(x,y,deg):
    z=np.polyfit(x,y,deg)
    p=np.poly1d(z) # 获得拟合函数的多项式系数，按照阶数从高到低排列
    print("你和的多项式为：",p) # 显示拟合的多项式函数

    yvals=p(x) # 求对应于x的拟合多项式值
    # yvals=np.polyval(z,x) # 同上
    Draw(x,y,yvals,'polyfitting')

给出拟合函数形式

使用scipy.optimize的curve_fit进行拟合。

# curve_fit拟合
def Func(p,x): # 拟合函数形式,p为系数
    pass

def CurveFit(x,y,Func):
    # 进行拟合
    popt,pcov=curve_fit(Func,x,y) # popt是拟合系数，pcov是在popt参数下得到的协方差
    yvals=Func(popt,x)
    Draw(x, y, yvals, 'curvefitting')

代码整合

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

# 绘图
##yvals为预测值，kind为拟合类型
def Draw(x,y,yvals,kind):
    plot1=plt.plot(x,y,'s',label='original values')
    plot2=plt.plot(x,yvals,'r',label=kind+'values')
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.legend(loc=4)
    plt.title(kind)
    plt.show()

# 多项式拟合
## deg为多项式阶数
def PolyFit(x,y,deg):
    z=np.polyfit(x,y,deg)
    p=np.poly1d(z) # 获得拟合函数的多项式系数，按照阶数从高到低排列
    print("你和的多项式为：",p) # 显示拟合的多项式函数

    yvals=p(x) # 求对应于x的拟合多项式值
    # yvals=np.polyval(z,x) # 同上
    Draw(x,y,yvals,'polyfitting')



# curve_fit拟合
def Func(p,x): # 拟合函数形式,p为系数
    pass

def CurveFit(x,y,Func):
    # 进行拟合
    popt,pcov=curve_fit(Func,x,y) # popt是拟合系数，pcov是在popt参数下得到的协方差
    yvals=Func(popt,x)
    Draw(x, y, yvals, 'curvefitting')



x=[] # 待拟合的节点数据
y=[]
x,y=np.array(x),np.array(y)

示例

def f1(x):
    y=x**3-6*x**2+5*x-3
    return y

x=np.linspace(0,10,10)
y=f1(x)
noise=np.random.randn(len(x))
y+=noise
PolyFit(x,y,3)


# 结果
# 拟合的多项式为：        3         2
#1.001 x - 6.011 x + 4.996 x - 2.798

def Func(x,a,b): # 拟合函数形式,p为系数
    # a,b=p[0],p[1]
    return a*np.e**(b*x)

x=[1,2,3,4,5,6,7,8] # 待拟合的节点数据
y=[15.3,20.5,27.4,36.6,49.1,65.6,87.87,117.6]
x,y=np.array(x),np.array(y)
CurveFit(x,y,Func)