AcWing 89. a^b

题目

求a的b次方对p取模的值。

输入格式

三个整数 a,b,p在同一行用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示a^b mod p的值。

数据范围

\(0≤a,b≤10^{9}\)
\(1≤p≤10^{9}\)

输入样例：

3 2 7

输出样例：

2

[AcWing89] 快速幂

要计算\(3^7\)，如果用\(3×3×3×3×3×3×3\)这种方法就要循环7次。那么有什么简单的方式呢？我们可以先预处理出\(3^2\)然后们就可以计算\(9×9×9×3\)。这样一来我们是不是就可以减少我们的循环次数呢？所以我们可以利用这种思想来解决这个问题。
\(3^7 = 3^{(1+2+4)} = 3^1 × 3^2 × 3^4 = 3 × 9 × 27\)
预处理出\(3^1 × 3^2 × 3^4\)这样就减少了循环次数，理解了上面之后。
我们单独来看这个7，我们知道7的二进制表示是\((7)_{2}=111\)

• 如果我们的最后1位是1我们就要乘这个位权，也就是3
• 下一步我们需要更改我们的位权为9
• 同时右移这样变成11
• 下一步变成乘这个位权，也就是9
• 如此反复，直到b变成0

注：

• *1ll是为了防止溢出
• 为什么每一步后面都要%p呢？这是我们利用了取余运算性质 (a × b) % p = (a % p × b % p) % p

int qmi(int a,int b,int p)
{
	int res = 1 % p;//这一步%p的目的是处理%1的情况
	while(b)
	{
		if(b&1) res = res * 1ll * a % p;//如果我们的最后一位是1，那么就要更新res
		//更新完毕后，我们需要更改一下我们的位权，比如我们第一个是×3，操作完之后就要变成×9
		a = a * 1ll * a % p;
		b >>= 1;//同时我们要把b右移
	}
	return res;
}

AC代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>


using namespace std;


int qmi(int a,int b,int p)
{
	int res = 1 % p;
	while(b)
	{
		if(b&1) res = res * 1ll * a % p;
		a = a * 1ll * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	int a,b,p;
	cin >> a >> b >> p;
	cout << qmi(a,b,p);    
    return 0;
}