算法第五章作业

首先明确最小重量机器设计问题的标准定义：机器由n个独立部件组成，每个部件有m个不同供应商可供选择，若第i个部件选择第j个供应商，对应的采购成本为c[i][j]、重量为w[i][j]，给定总成本上限C，需为每个部件选择一个供应商，在总采购成本不超过C的前提下，使机器的总重量最小。

该问题的解空间是所有可能解的集合，每个解对应一个长度为n的整数向量X=(x₁,x₂,…,xₙ)，其中xᵢ∈{1,2,…,m}，表示第i个部件选择第xᵢ个供应商。解空间是n个部件供应商选择的笛卡尔积，总规模为mⁿ（指数级）。解分为所有解、可行解（总费用不超过C的向量）、最优解（可行解中总重量最小的向量）。

该问题的解空间树是用于组织和遍历解空间的m叉树，层次数与部件数n相关，包含第0层根节点，总层数为n+1。第0层是根节点，代表尚未选择任何部件；第1层对应第1个部件的供应商选择，每个节点表示该部件选第j个供应商，共m个子节点；第k层（1<k≤n）对应第k个部件的供应商选择，第k-1层的每个节点都有m个子节点，代表在前k-1个部件选择确定后，第k个部件的供应商选择；第n层是叶子节点，每个叶子节点对应一个完整的供应商选择方案，总数为mⁿ，与解空间规模一致。回溯法采用深度优先搜索遍历该树，从根节点出发逐层选择部件的供应商，到达叶子节点后回溯到父节点尝试其他子节点。

遍历解空间树时，每个节点需维护核心状态值与辅助状态值：核心状态值1是当前遍历层数k，代表已确定前k个部件的供应商选择，k∈{0,1,…,n}，k=0对应根节点，k=n对应叶子节点，用于确定下一步处理的部件及是否到达叶子节点；核心状态值2是前k个部件的累计成本sum_c，k=0时sum_c=0，用于可行性剪枝，若sum_c>C，无需遍历该节点的子节点，直接回溯；核心状态值3是前k个部件的累计重量sum_w，k=0时sum_w=0，用于跟踪重量累积，到达叶子节点时若方案可行则更新全局最优重量，同时用于最优性剪枝，若sum_w不小于已知全局最优重量，直接回溯；辅助状态值是前k个部件的供应商选择路径(x₁,x₂,…,xₖ)，记录已确定的选择，到达叶子节点若为最优解则输出完整方案。

回溯算法是基于深度优先搜索的枚举型优化算法，核心是“系统试探、无效回溯、提前剪枝”，用于高效求解组合优化问题。其核心思想是逐步构建解路径、无效路径及时止损，分为试探、回溯、剪枝三个步骤：试探是从解空间树根节点出发，按深度优先策略逐层选择解的分量，逐步构建完整解路径；回溯是当某节点对应的子空间不可能存在可行解或最优解时，停止向下遍历并返回父节点尝试其他子分支；剪枝是提升效率的关键，分为可行性剪枝（剔除违反约束的子空间）和最优性剪枝（剔除目标值劣于已知最优解的子空间）。

回溯算法的关键特征包括：依赖清晰的解空间和对应的解空间树（如子集树、m叉树）；具有无后效性，当前节点状态仅依赖父节点状态；能保证全局最优解（剪枝策略不遗漏最优解时）；最坏时间复杂度与解空间规模一致（指数级或阶乘级），但有效剪枝可降低实际运行时间。

其适用场景是问题的解可表示为有限长度向量或集合、解空间规模大、存在明确约束条件和目标函数、需要全局最优解或所有可行解的问题，常见应用包括最小重量机器设计、0-1背包、旅行商问题、n皇后问题等。

回溯算法与其他算法的核心区别：与贪心算法相比，回溯是全局试探保证最优解，贪心是局部最优决策仅特定情况最优、效率更高但无最优性保证；与动态规划相比，回溯是枚举型适用于组合优化问题，动态规划是递推型适用于有重叠子问题和最优子结构的问题，时间复杂度更优但需额外空间存储状态。