算法第四章作业

问题 1：“选点问题” 的贪心策略、性质证明与时间复杂度
（以经典 “区间选点问题” 为例，通常选点问题指：给定若干区间，选最少的点使得每个区间至少包含一个点）
贪心策略：将所有区间按右端点升序排序，每次选择当前区间的右端点作为选点，然后跳过所有包含该点的区间，重复此过程直到处理完所有区间。
贪心选择性质证明：假设最优解为 S，第一个被选的区间为 I1（右端点 r 1）。若 S中第一个点 p 1>r 1，则将 p 1替换为 r 1，新的集合仍能覆盖所有区间（因为 I 1被 r 1 覆盖，后续区间右端点≥r 1，原覆盖关系不变）。因此，选择 r 1
​

是贪心选择，且剩余子问题的最优解与原问题最优解一致。
时间复杂度：排序时间为
O(nlogn)
，遍历区间的时间为
O(n)
，总时间复杂度为
O(nlogn)
。
问题 2：对贪心算法的理解
贪心算法是一种逐步决策的算法思想：每一步都选择当前状态下的局部最优解，期望通过一系列局部最优选择得到全局最优解。其核心特点：
无后效性：当前选择仅依赖当前状态，不回溯之前的决策；
适用场景有限：仅当问题满足 “贪心选择性质”（局部最优能导出全局最优）和 “最优子结构”（子问题的最优解包含在原问题的最优解中）时，才能得到全局最优；
高效性：通常时间复杂度较低（多为线性或线性对数级）。