P4449 题解

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推柿子

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{d=1}^n\left[gcd(i,j)=d\right]d^k \]

把 \(d\) 提出来

\[\sum\limits_{d=1}^n d^k\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\left[gcd(i,j)=d\right] \]

除以 \(d\)

\[\sum\limits_{d=1}^n d^k\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\left[gcd(\dfrac{i}{d},\dfrac{j}{d})=1\right] \]

然后转换一下

\[\sum\limits_{d=1}^n d^k\sum\limits_{i=1}^{n/d}\mu(i)\left\lfloor\dfrac{n}{id}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{m}{id}\right\rfloor \]

设 \(T=id\)

\[\sum\limits_{T=1}^n\left\lfloor\dfrac{n}{T}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{m}{T}\right\rfloor\sum\limits_{i|T}(\dfrac{T}{i})^k\mu(i) \]

前面的部分可以分块，后面的可以线性筛 + 前缀和预处理。

时间复杂度为 \(O(T\sqrt n+n)\)。

\(Code:\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define int long long
#define mod 1000000007

int t,k,n,m,p[5000002],pow[5000002],res[5000002],sum[5000002];
bool vis[5000002];

int power(int x,int y) {
	if(y==0) return 1;
	if(y==1) return x;
	if(y%2==0) return power((x*x)%mod,y/2);
	return (x*power(x,y-1))%mod;
}

void getmu() {
	vis[1]=pow[1]=res[1]=1;
	for(int i=2;i<=5000000;i++) {
		if(!vis[i]) p[++p[0]]=i,pow[i]=power(i,k),res[i]=(pow[i]+mod-1)%mod;
		for(int j=1;i*p[j]<=5000000;j++) {
			vis[i*p[j]]=1,pow[i*p[j]]=(pow[i]*pow[p[j]])%mod;
			if(i%p[j]==0) {
				res[i*p[j]]=(res[i]*pow[p[j]])%mod;
				break;
			}
			res[i*p[j]]=(res[i]*res[p[j]])%mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<=5000000;i++) sum[i]=(sum[i-1]+res[i])%mod;
}

signed main() {
	scanf("%lld%lld",&t,&k);
	getmu();
	while(t--) {
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		if(n>m) swap(n,m);
		int l=1,r=1,ans=0;
		while(l<=n) {
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans=(ans+((sum[r]-sum[l-1])*(n/l)%mod)%mod*(m/l))%mod;
			l=r+1;
		}
		printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
	}
	return 0;
}