[每日随题11] 贪心 - 数学 - 区间DP

整体概述

• 难度：1000 \(\rightarrow\) 1400 \(\rightarrow\) 1600

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P3918 [国家集训队] 特技飞行

• 标签：贪心

• 前置知识：无

• 难度：橙 1000

题目描述：

输入格式：

输出格式：

样例输入：

5 2
2 2

样例输出：

12

解题思路：

• 发现一次操作没有贡献，至少要两次操作。同时发现无论操作多少次，总贡献等同于只操作第一次和最后一次带来的贡献。

• 所以我们让价值最大的贡献操作时间最长即可，即将 \(c\) 从大到小排序，然后依次填充在头尾，模拟一遍计算总贡献即可。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Size(x) ((int)(x).size())
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e3+5;
int n,k,a[N],c[N];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin >> n >> k;
	for(int i=1;i<=k;i++) cin >> c[i];
	sort(c+1,c+k+1,[&](int x,int y){return x>y;});
	int res = 0;
	for(int i=1,j=1;i<=k && j<=n/2;i++,j++)
		res += ((n-j+1) - j)*c[i];
	cout << res;
	return 0;
}

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P11465 水上舞者索尼娅

• 标签：数学

• 前置知识：逆元

• 难度：黄 1400

题目描述：

输入格式：

输出格式：

样例输入：

3
2 2
3 1
12 34

样例输出：

12
14
178629506

解题思路：

• 我们发现，对于一张还剩 \(i\) 次的 \(一串香蕉\)，在场上由 \(k\) 个索尼娅的时候，本质是使用了 \(k+1\) 张还剩 \(i\) 次的 \(一串香蕉\)，随后产生 \(k+1\) 张还剩 \(i-1\) 次的 \(一串香蕉\)。

• 那么总使用次数即 \((k+1) + (k+1)^2 + ... + (k+1)^n\)，用等比数列求和即 \(\frac {(k+1)*(1-(k+1)^n)} {1-(k+1)} = \frac {(k+1)*((k+1)^n-1)} {k}\)。

• 注意在模意义下除 \(k\) 是乘以 \(k\) 的逆元即可，

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
int n,k;
inline int qpow(int a,int b){
	int res = 1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)
		if(b&1) res=res*a%mod;
	return res;
}
inline void solve(){
	cin >> n >> k;
	cout << ((k+1)*(qpow(k+1,n)-1))%mod*(qpow(k,mod-2))%mod << '\n';
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	int T; cin >> T;
	while(T--) solve();
	return 0;
}

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P6457 [COCI 2006/2007 #5] IVANA

• 标签：区间DP

• 前置知识：拆环成链

• 难度：绿 1800

题目描述：

输入格式：

输出格式：

样例输入：

3
3 1 5

4
1 2 3 4

8
4 10 5 2 9 8 1 7

样例输出：

3

2

5

解题思路：

• 首先发现是环上的操作，我们先翻个倍拆环成链。

• 由于每次操作都是在已选择的区间的边缘上进行操作，我们考虑区间 \(DP\)，题目所求的是奇数个数更多的玩家获胜，那么我们定义 \(dp_{i,j}\) 表示当前先手取完区间 \([i,j]\) 此时先手最多比后手多几个奇数。

• 那么 \(dp_{i,j} = max(dp_{i,i}-dp_{i+1,j},dp_{j,j}-dp_{i,j-1})\)，全部更新一遍即可。

• 最后统计的时候需要注意，我们需要枚举先手取的起始点 \(i\)，若 \(dp_{i,i} - dp_{i+1,i+n-1} \gt 0\) 则满足题意则统计答案。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Size(x) ((int)(x).size())
#define int long long
using namespace std;
const int N = 205;
int n,m,a[N],dp[N][N];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin >> n; m = n*2;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin >> a[i], a[i+n] = a[i];
	for(int l=1;l<=m;l++) if(a[l]&1) dp[l][l] = 1;
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int l=1;l<=m-len+1;l++){
			int r = l+len-1;
			dp[l][r] = max(dp[l][l]-dp[l+1][r],dp[r][r]-dp[l][r-1]);
		}
	}
	int res = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(dp[i][i] - dp[i+1][i+n-1] > 0) res += 1;
	cout << res;
	return 0;
}