AT_abc366_D 题解

三维前缀和板子题。

若用 \(a\) 表示原数组， \(s\) 表示前缀和数组，则一维到三维前缀和分别有如下递推式：

• 一维：

\[s[i] = s[i-1] + a[i] \]

• 二维：

\[s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j] \]

• 三维：

\[s[i][j][k]=s[i][j][k-1]+s[i][j-1][k]+s[i-1][j][k]-s[i-1][j-1][k]-s[i-1][j][k-1]-s[i][j-1][k-1]+s[i-1][j-1][k-1]+a[i][j][k] \]

上述式子一个共同的特点：形如 \(s[i][j][k-1]\) 和 \(s[i-1][j][k]\) 这样只有一维变化的式子总是符号相同的，其余则是不同的，变化的维数每增加一维，符号便改变一次。

这样比较好记忆，简单的容斥原理即可证明。

更高维的前缀和同理。

下面是我的抽象代码：

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long int ll;
using namespace std;
const int maxn=105;
int n,q,a[maxn][maxn][maxn],s[maxn][maxn][maxn],x,y,z,xx,yy,zz;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<=n;k++)cin>>a[i][j][k];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<=n;k++)s[i][j][k]=s[i][j][k-1]+s[i][j-1][k]+s[i-1][j][k]-s[i-1][j-1][k]-s[i-1][j][k-1]-s[i][j-1][k-1]+s[i-1][j-1][k-1]+a[i][j][k];
		}
	}
	cin>>q;
	while(q--){
		cin>>x>>xx>>y>>yy>>z>>zz;
		cout<<s[xx][yy][zz]-s[xx][yy][z-1]-s[xx][y-1][zz]-s[x-1][yy][zz]+s[x-1][y-1][zz]+s[x-1][yy][z-1]+s[xx][y-1][z-1]-s[x-1][y-1][z-1]<<"\n";
	}
	return 0;
}
/*
2
1 2
3 4
5 6
7 8
2
1 2 2 2 1 1
2 2 1 2 1 2

*/