RSA-CRT

故障注入攻击(RSA-CRT Fault Attack)

假设在计算 $S_q$ 时发生了错误, $S_q=m_q^{d_q} \bmod q$ , $m_q=m \bmod q$ , $d_q=d \bmod (q-1)$

正确签名: $S=S_p \cdot(q^{-1} \bmod p) \cdot q+S_q \cdot(p^{-1} \bmod q) \cdot p$

错误签名: $\hat{S} = S_p \cdot (q^{-1} \bmod p) \cdot q + \hat{S_q} \cdot (p^{-1} \bmod q) \cdot p$

则 $S - \hat{S} = (S_q - \hat{S_q}) \cdot (p^{-1} \bmod q) \cdot p$ ,即有 $p=\gcd(S-\hat{S},N)$

或由错误签名 $\hat{S}$ ,有 $p=\gcd(S’^e-m,N)$

题目

from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import *
from secrets import flag
import os

class RSA():
    def __init__(self,p,q,e):
        self.p=p
        self.q=q
        self.e=e
        self.phi=(p-1)*(q-1)
        self.d=invert(self.e,self.phi)
        self.dp=self.d%(p-1)
        self.dq=self.d%(q-1)
        self.n=p*q
        self.N=getPrime(512)*getPrime(512)

    def sign(self,message):
        m=bytes_to_long(message)
        sig_p=pow(m,self.dp,self.p)
        sig_q=pow(m,self.dq,self.q)
        alpha=q*invert(q,p)
        beta=p*invert(p,q)
        return long_to_bytes((alpha*sig_p+beta*sig_q)%self.n)

    def corrupt_sign(self,message):
        m=bytes_to_long(message)
        sig_p=pow(m,self.dp,self.p)
        sig_q=pow(m,self.dq,self.q)
        alpha=q*invert(q,p)
        beta=p*invert(p,q)
        return long_to_bytes((alpha*sig_p+beta*sig_q)%self.N)

    def verify(self,message,sign):
        return long_to_bytes(pow(bytes_to_long(sign),self.e,self.n))==message

p=getPrime(512)
q=getPrime(512)
e=65537
rsa=RSA(p,q,e)

with open("sign.txt","w") as f1:
    with open("corrupted_sign.txt","w") as f2:
        for _ in range(6):
            message=os.urandom(64)
            sign=rsa.sign(message)
            corrupted_sign=rsa.corrupt_sign(message)
            assert rsa.verify(message,sign)
            f1.write(str(sign)+'\n')
            f2.write(str(corrupted_sign)+'\n')

enc=pow(bytes_to_long(flag),rsa.e,rsa.n)
print(f"n = {rsa.n}")
print(f"N = {rsa.N}")
print(f"e = {rsa.e}")
print(f"enc = {enc}")


n = 99670316685463632788041383175090257045961799409733877510733415402955763322569510896091638507050126669571444467488936880059210773298729542608112756526719533574432327269721804307073353651955251188547245641771980139488000798458617636759823027148955008149512692983471670488580994385743789385091027299901520585729
N = 81332992898551792936282861980393365170738006789835182134055801566584228471896473385776004610279937176800796971820133195300006470892468060034368863410462219133248069442508287516929262751427926825122839525496671527936622212986733708071962237633082743396115729744192159064241674410003857168101669882043743570731
e = 65537
enc = 2476965183785968993595493003363618829317072815989584886372189393899395623714779397354978469504773556228655475355703015337932838278988328384587983506790841663233499939173166353582189202860394411808445422387063648198432242875738065748287034529713834303346017134249834382745931627301273142828893469374138264396

b'\t\x8b\xde\x98\x84\x1d\x9e\xd4\xa0\xb7f\xe0\x05\xb1\xbd8\xb9G\xe3\x0c\x83\x8a\xe5\xf0G7\x12\x1eT\x85o-B\xe4_\xd2\x04\xd9:\xab\xdf\xa1 \x8f\xedt+\x0f\xce\xb5\x90\xaaK\xf0U~v=\x84\xe7$G\xf5\xfb\xd3ok~V\x1a\xec&\x15\x18Y\x0c\x80u\xafF\xf1\x10\x9f\xf2\xe6\xa6\x9a\xbb\xbd+\xa4l\xa9\x11\xd5\t\x13\x16\xa3\xde\xe1\xdfZ\xa9$r\xb5`\xc9"\x11\xab\xc5\x87\xc4\x1d@\x9e\xa4t\xdb#\xbdj\xcb\x95\xefK'
b'z/\xd6\xfb\xd8\xfa\xc4\xed\xbd\x99\xd0\xa0\x90\xcb\xca\x83\xd8B\xa7\xf4\xbd\xe0\xc2&\x1aQl(\xd6p\x8f\x89=tT\xf1(\xeb\xab\x84[oR\x1fl=\xda\xf5\x18q\x8f\xa7k\x00\x1b\x1a\x0ei\x1fa.ho\x15\x04\x12\xe4\xc2\xd7\x19\x92\xc3\x9b\xfe\xd5\xb6R\xf8\x95\x9fr\x93\xddD\x1c[\x873\xd5\x06\x1b\xa5\x82/6\x9a\x13\xcf\xa4\xcd\x0e]\t\xad?\xd6\x84\r\x90\xef\x86\xf15)\xe34\xf7\xb77\xef\x0c&\xdb8\xa6\xe0\xa5a'
b'U\x0b\xf6\x9cm])1\xe2\xad\xf9G\x8f\xa2\xbc}\xd7\x18\x89\xa4\xfdFQ\x80m"\xf9\to^\xd9A\x98\xd2\xca\x1e(b\xa8\xbe\xc2m\xf7\n[O\x00\xbc\x87\x17\xed\x0cG\xf2=H\x0e\xc0\x14+\xcb\xd0\x1feT2\xf2Th\xec\xc2\xcf>6,<\x88X\x8f\xe9g\xa8\x00\xafr\x05\x95\rj\x9c\xc6\n\xbb\x8a\x019\xc1\x1ef#\x02[Rh\xd8\xdc|{6\xeb\xe8U\x91\xa4\xeb}\xf4s;E\xe72$i\xdft\xff\''
b'[\x94\x95T\xf4\xc4\xca\x8drO\x80\x14\xc9<H\xa2a\xdc\xf4`\xac>\xab\x03\xfa\x80Sx\x99\x14\x83$U\x0b\xfa\x8fv\xfd\xda\x1a\xa0\xebY\xaa\x01\xe2XsG\t\xcf\xae\xa0\xbf\x82iG\tQ \xb1\xfe\xa5k\x12\xd9\x12\xf7\x95\xa3\xa5\x8d`z\x19\x1a\x90-\x9aj\x15\xf6f>\x18\x08\xb8\x1f\x88\x1a\x80Th\xd0\x15\x9bw#\'`K\xa5\xf1\xbf"\xe79\xaf\xc7z%p\xa5\x9f\x14\xef\'1\x11\x05Gg\xe9\xda\xc9\x18~['
b':\xefRE\xd7\xa1?\xf3\xb5\xf7\xdd\xe2\xb6~\x85014\xc0\x8a\x80\xe1\xb5#\x94\x10\xb2\xa0\xfe\x87\xd1t\xc3$&\xde8\x195\xcd\xf4@3\x15\xcaK\xcc\xcd\r:\x83*\xd7l\xb6\xf2} \tJ\xb5xKfjh.\xfb\xb5\x91\xc6\xf2x\x8e\x83\xdc\xc3\xef\x8b\x8dW\xa6\xa6\xb0w\xd8\xf2G\xa5-\xc3\x87\x17;\xedH`:\xcd\x08ts\x9eqPE\xd7\xfc\xc4\x98\xb5\xe0\xad\xb7A\x7f\xcb\x01\xbd\x98\xd3Ea\xb9\x07\x80\xf8\x19'
b"8\xca\x7f!;\\\xde\x1b\x80i\x9b!\x1c??u\x13\x955\xd0xG\xff\xd7\xba\xfe+\x95\x0eu^\x15\x1a\x0e*\xfe\x8a\xafM\xc0\xd1Ty\xd7\xf1\xa7@\xd6\xa6\xee\x0c:It\x1a\xeag\xfc\x0c\xaf\x02<\x03T)\xeb\xb0\x15\x1cz\x85\x992\xa9\xbe\x9bm\xc4D\x83\xf7\xb5T\xdd9?\x94\xd4\x13\xb4\xb3\x8d\xa9\x92\x9dt\x86\xdb\x0b$\x19l\xb1\xb9\x05'o\xf3!\t\x01\x93'z\x15P\x88\xd7iN\n\x8bA\xb5\xd2}\xe8\x10"

b"\x17\x8bb3\x11\x1b\xb9\xb9\xc6M\xb0\xaa\x07-\x1ar\xff\xfb\xb4&H7!\xb8\xa1\xce\x07\x8b\x84M\x0bw=m\x193Oc\x97w\x8f\xffy4\xa1\x99\xfcW\xf9|\xeb\xa4\x00\x1eD*\xe8-'\xa9\xef\x9d\x13*\xf4\xbe\x9d\x9b&w\xcb\xfd\xb3\xb6\xa3n\xb8\xb4\x97vT\xec@\x86\xd1R\xb0\n\xe1uC\xbc\x14\xeb\xceSu&'{\xb9\x12\x90\x82\xc7,\xdbr\xebP\xe1j\x11E\xd5\x17\xe1\xd0D\xe7z\x94vt\xbf\x1a\xc4+"
b'\x1dJ\xc5\xb2\xbe\x05\xe6\xc8T\n\xbe"\xbeU\xed\xba\xec\x85\x05\x8b\x8ayE\xa3}0\x1dk\xa7\x10\xe2E\x19\xfe\x10\x90\xef\r\xdbV\x8b\x87|(\xd1\xb5\xfd\xb9\x14\x84\x05\x03\x81\xc8\xf6\xe5\x8a\x92\xa0\x01I\x8aG:\xc19\x9e\xf0\x8eZ\\Yx\x80|\xb7\x80\x0e\xcd\xa3\xba6\xf8\x98\xb1pB\x05\x8aT#\xbf\x1e\x1b~\xcb\xf5\t\xa2H9\xc9n\x81e\xa2\x15\x97\x11\xe4\x93\xf2\xe6\x80\x97\x99G\xb5\xfe\x07/\xd2\xbd\xad\xcf\x04\x9e\xd0'
b'Gs\xda\xb8\x8a\x85\xccK\xf7\xa8y\x16\xa5\xf0\x06\xbe\xeb\x83&}a\x85q\x8d:\x1fSb\xb8\xc5\x84\xba*[\xe7\xbb{\x86\xd3\xb3r\xb6\xaaCN\x93\x1d<(\xe2\x1c;\x8crU\x8fD=W\xa7\x0b\xc7\xeag\x96\x06\xd6\xbb\xe4\x04b\xd8\x02\x12\xd6\xfa2\x1e#\xf0\xde\x8b\x88M\xd2\xf47\\\x98\xe0\x04Fu\x1bsy\xf2\xc4\xad\xd6Y\x81u~B:\xd2\x1f\xb3\xab\x01:\xfa\xdf\x19J8\xd0\x18RN\xfe,CA\x15\xb3\xe0'
b"0I\xda5\x9f\x05v\x17\xdc\xd4q\xd6\x83,\x9d\r\xccc\x8a\xa1\xd4U\xd3\x18\xc9\xc6g\xcd\nX\x99Ah\xed}\xf3\xb1(\xd5I\xc6\x0f@yw9\x9d\xfdv\x15x\xeaRA\xd6\xb0\x1e\xb5B\xe5\x05cc\x06m\xf4NN'\x02q\x1a\x11\xe4\x87P:\xc8\x11a\x9f\xbd\x9c\x98x\xda\xea\xc4\xa8f\x89s\xcaJ\x7f\xeb\xd8\xc1G#\xf4\xdc\xe2\x01\xf2\xa5\x95\x19`)2!\xf5\xb9\xf0\xf2\xbb\xf8\x0bF&&`\xfd*\xe1\xf2\x9c"
b':\x99/Hxt\xd1\xd4\xaaB\xd6H\x16\xe1\xc9\xe2\xb3\xc3\xa9b\xd3\x96\x9c\x05x6\xf1\xc3d\xa2\xd1U+.\x1b\xac^\xf6Mh7\xb7\x03\x8e\xdc\xca\x0bn\xac\xed\x92\xb8x\x04)\x0f|\x11\xcc\xfa\xf2\\\xba\xee\xc4X\xa8(\x05\xf2\xb5\x8f&\xf3\xff\x1eB\xe7\x94\xf4\xa6\x00!\xe5v\xd9x\xf0s\x94\xf4D(\xa9g\x118\xa7z\x83\xad\xdb\xe6\xe3\xe7\xf8\xf2\xef\xe5@\xe9\x13\x00OB\xcc\x05\xd1,_=\xd2/Og\x81\xa6+'
b'\x1c|\xb6\xcc\xdfj\xc5\xa0s\xac w\xa6\xf2\x87D\xe3\xf9Y\xf5=\xf0\x0b\xd9\xea\x89,+e\x1e\xb7m#\x99\xd1\x87\x17Z\xed\x1d\xc8\x97;\xa0K\x05.\xaa<\xc6s\xcf\xa2\xa2\\PO\x12&\xb4\x11\xec\xad\x10\xf8\xf7\xd1\xd3_\x80\x17\xe0\x1eP\x93\xe3\xc2\x1e\x03\xea]^\xc6a\x9c\xcb\x90\xbb\x9f\x8by\xa5dhM\xce\xc7\xbc\xf7\xafe\xcf\xc1\xf1\x18@\x1e\xe2\xdb\xfb\xe4^\xc8\xe7\x19\xccnY\xc6o\x7fL\x9fV\xd4\xc4\x15\xe8'

思路

错误模攻击(Modulus Fault Attacks)

• ? Modulus Fault Attacks Against RSA-CRT SignaturesCMBX12

有明文 $m$ 经对应编码后的 $\sigma_p = \mu(m)^d \bmod p, \sigma_q = \mu(m)^d \bmod q$ ,生成RSA-CRT签名 $\sigma = (\sigma_p\cdot\alpha + \sigma_q\cdot\beta) \bmod N$ ,其中参数 $\alpha = q \cdot (q^{-1} \bmod p),\beta = p \cdot (p^{-1} \bmod q)$

利用错误模注入技术得到错误签名 $\sigma’$ ,即 $\sigma’ = (\sigma_p\cdot\alpha + \sigma_q\cdot\beta) \bmod N’$

对生成的两种签名 $\sigma$ 和 $\sigma’$ 使用CRT可计算出 $v=(\sigma_p\cdot\alpha + \sigma_q\cdot\beta) \bmod (N \cdot N’)$

针对 $l \ge 5$ 的编码后消息进行分析,通过计算签名对 $(\sigma,\sigma’)$ 分解 $N$ 的攻击方法

1. 对所有的 $i$ ,计算出对应的整数 $v_i= \text{CRT}_{N,N’}(\sigma_i,\sigma_i’)$，这些对应的 $v_i$ 构成 $\mathbb{Z}^l$ 上的向量 $\mathbf{v}=(v_1,\cdots,v_i)$

2. 利用LLL定理计算出垂直于向量 $\mathbf{v}$ 的正交格 $\mathbf{v}^{\perp}$ 的规约基 $\mathbf{b}1,\cdots,\mathbf{b}$ ,其中所有的向量和格的分布都是在 $\mathbb{Z}^l$ 内,通过对存在于 $\mathbb{Z}^{1+l}$ 中的格应用LLL定理,即对如下矩阵使用LLL定理
   $\begin{pmatrix} kv_1 & 1 & & 0 \newline \vdots& & \ddots & \newline kv_l & 0 & & 1 \end{pmatrix}$
   其中 $k$ 为合适的大常量,并去除计算出来的向量的第 $1$ 个元素

3. 前 $l-2$ 个向量 $\mathbf{b}1,\cdots,\mathbf{b}$ 将生成秩为 $l-2$ 的格 $L’$ ,再次利用LLL定理来计算出正交格 $(L’)^{\perp}$ 的规约基 $\mathbf{x}’,\mathbf{y}’$ ,同样可以通过对如下矩阵使用LLL定理得到对应的规约基
   $\begin{pmatrix} k’b_{1,1} & \cdots & k’b_{l-2,1} & 1 & & 0 \newline \vdots& & \vdots & & \ddots & \newline k’b_{1,l} & \cdots & k’b_{l-2,l}& 0 & & 1 \end{pmatrix}$
   同步骤2,保留计算出来的向量的最后 $l$ 个元素

4. 将所有长度不超过 $\sqrt{lN}$ 的并在 $(L’)^{\perp}$ 内的向量 $\mathbf{z}=a \mathbf{x}’+b \mathbf{y}’$ 列举出来,对符合条件的向量 $\mathbf{z}$ ,计算出 $\gcd(\mathbf{v}-\mathbf{z},N)$ ,可以得出 $N$ 中任何可能的素因子

解答

from Crypto.Util.number import *  
from tqdm import tqdm  
import gmpy2,sys  
  
def orthogonal_lattice(B):  
LB = B.transpose().left_kernel(basis="LLL").basis_matrix()  
return LB  
  
n = 99670316685463632788041383175090257045961799409733877510733415402955763322569510896091638507050126669571444467488936880059210773298729542608112756526719533574432327269721804307073353651955251188547245641771980139488000798458617636759823027148955008149512692983471670488580994385743789385091027299901520585729  
N = 81332992898551792936282861980393365170738006789835182134055801566584228471896473385776004610279937176800796971820133195300006470892468060034368863410462219133248069442508287516929262751427926825122839525496671527936622212986733708071962237633082743396115729744192159064241674410003857168101669882043743570731  
e = 65537  
enc = 2476965183785968993595493003363618829317072815989584886372189393899395623714779397354978469504773556228655475355703015337932838278988328384587983506790841663233499939173166353582189202860394411808445422387063648198432242875738065748287034529713834303346017134249834382745931627301273142828893469374138264396  
  
cs_ = [  
b"\x17\x8bb3\x11\x1b\xb9\xb9\xc6M\xb0\xaa\x07-\x1ar\xff\xfb\xb4&H7!\xb8\xa1\xce\x07\x8b\x84M\x0bw=m\x193Oc\x97w\x8f\xffy4\xa1\x99\xfcW\xf9|\xeb\xa4\x00\x1eD*\xe8-'\xa9\xef\x9d\x13*\xf4\xbe\x9d\x9b&w\xcb\xfd\xb3\xb6\xa3n\xb8\xb4\x97vT\xec@\x86\xd1R\xb0\n\xe1uC\xbc\x14\xeb\xceSu&'{\xb9\x12\x90\x82\xc7,\xdbr\xebP\xe1j\x11E\xd5\x17\xe1\xd0D\xe7z\x94vt\xbf\x1a\xc4+"  
,b'\x1dJ\xc5\xb2\xbe\x05\xe6\xc8T\n\xbe"\xbeU\xed\xba\xec\x85\x05\x8b\x8ayE\xa3}0\x1dk\xa7\x10\xe2E\x19\xfe\x10\x90\xef\r\xdbV\x8b\x87|(\xd1\xb5\xfd\xb9\x14\x84\x05\x03\x81\xc8\xf6\xe5\x8a\x92\xa0\x01I\x8aG:\xc19\x9e\xf0\x8eZ\\Yx\x80|\xb7\x80\x0e\xcd\xa3\xba6\xf8\x98\xb1pB\x05\x8aT#\xbf\x1e\x1b~\xcb\xf5\t\xa2H9\xc9n\x81e\xa2\x15\x97\x11\xe4\x93\xf2\xe6\x80\x97\x99G\xb5\xfe\x07/\xd2\xbd\xad\xcf\x04\x9e\xd0'  
,b'Gs\xda\xb8\x8a\x85\xccK\xf7\xa8y\x16\xa5\xf0\x06\xbe\xeb\x83&}a\x85q\x8d:\x1fSb\xb8\xc5\x84\xba*[\xe7\xbb{\x86\xd3\xb3r\xb6\xaaCN\x93\x1d<(\xe2\x1c;\x8crU\x8fD=W\xa7\x0b\xc7\xeag\x96\x06\xd6\xbb\xe4\x04b\xd8\x02\x12\xd6\xfa2\x1e#\xf0\xde\x8b\x88M\xd2\xf47\\\x98\xe0\x04Fu\x1bsy\xf2\xc4\xad\xd6Y\x81u~B:\xd2\x1f\xb3\xab\x01:\xfa\xdf\x19J8\xd0\x18RN\xfe,CA\x15\xb3\xe0'  
,b"0I\xda5\x9f\x05v\x17\xdc\xd4q\xd6\x83,\x9d\r\xccc\x8a\xa1\xd4U\xd3\x18\xc9\xc6g\xcd\nX\x99Ah\xed}\xf3\xb1(\xd5I\xc6\x0f@yw9\x9d\xfdv\x15x\xeaRA\xd6\xb0\x1e\xb5B\xe5\x05cc\x06m\xf4NN'\x02q\x1a\x11\xe4\x87P:\xc8\x11a\x9f\xbd\x9c\x98x\xda\xea\xc4\xa8f\x89s\xcaJ\x7f\xeb\xd8\xc1G#\xf4\xdc\xe2\x01\xf2\xa5\x95\x19`)2!\xf5\xb9\xf0\xf2\xbb\xf8\x0bF&&`\xfd*\xe1\xf2\x9c"  
,b':\x99/Hxt\xd1\xd4\xaaB\xd6H\x16\xe1\xc9\xe2\xb3\xc3\xa9b\xd3\x96\x9c\x05x6\xf1\xc3d\xa2\xd1U+.\x1b\xac^\xf6Mh7\xb7\x03\x8e\xdc\xca\x0bn\xac\xed\x92\xb8x\x04)\x0f|\x11\xcc\xfa\xf2\\\xba\xee\xc4X\xa8(\x05\xf2\xb5\x8f&\xf3\xff\x1eB\xe7\x94\xf4\xa6\x00!\xe5v\xd9x\xf0s\x94\xf4D(\xa9g\x118\xa7z\x83\xad\xdb\xe6\xe3\xe7\xf8\xf2\xef\xe5@\xe9\x13\x00OB\xcc\x05\xd1,_=\xd2/Og\x81\xa6+'  
,b'\x1c|\xb6\xcc\xdfj\xc5\xa0s\xac w\xa6\xf2\x87D\xe3\xf9Y\xf5=\xf0\x0b\xd9\xea\x89,+e\x1e\xb7m#\x99\xd1\x87\x17Z\xed\x1d\xc8\x97;\xa0K\x05.\xaa<\xc6s\xcf\xa2\xa2\\PO\x12&\xb4\x11\xec\xad\x10\xf8\xf7\xd1\xd3_\x80\x17\xe0\x1eP\x93\xe3\xc2\x1e\x03\xea]^\xc6a\x9c\xcb\x90\xbb\x9f\x8by\xa5dhM\xce\xc7\xbc\xf7\xafe\xcf\xc1\xf1\x18@\x1e\xe2\xdb\xfb\xe4^\xc8\xe7\x19\xccnY\xc6o\x7fL\x9fV\xd4\xc4\x15\xe8'  
]  
s_ = [  
b'\t\x8b\xde\x98\x84\x1d\x9e\xd4\xa0\xb7f\xe0\x05\xb1\xbd8\xb9G\xe3\x0c\x83\x8a\xe5\xf0G7\x12\x1eT\x85o-B\xe4_\xd2\x04\xd9:\xab\xdf\xa1 \x8f\xedt+\x0f\xce\xb5\x90\xaaK\xf0U~v=\x84\xe7$G\xf5\xfb\xd3ok~V\x1a\xec&\x15\x18Y\x0c\x80u\xafF\xf1\x10\x9f\xf2\xe6\xa6\x9a\xbb\xbd+\xa4l\xa9\x11\xd5\t\x13\x16\xa3\xde\xe1\xdfZ\xa9$r\xb5`\xc9"\x11\xab\xc5\x87\xc4\x1d@\x9e\xa4t\xdb#\xbdj\xcb\x95\xefK'  
,b'z/\xd6\xfb\xd8\xfa\xc4\xed\xbd\x99\xd0\xa0\x90\xcb\xca\x83\xd8B\xa7\xf4\xbd\xe0\xc2&\x1aQl(\xd6p\x8f\x89=tT\xf1(\xeb\xab\x84[oR\x1fl=\xda\xf5\x18q\x8f\xa7k\x00\x1b\x1a\x0ei\x1fa.ho\x15\x04\x12\xe4\xc2\xd7\x19\x92\xc3\x9b\xfe\xd5\xb6R\xf8\x95\x9fr\x93\xddD\x1c[\x873\xd5\x06\x1b\xa5\x82/6\x9a\x13\xcf\xa4\xcd\x0e]\t\xad?\xd6\x84\r\x90\xef\x86\xf15)\xe34\xf7\xb77\xef\x0c&\xdb8\xa6\xe0\xa5a'  
,b'U\x0b\xf6\x9cm])1\xe2\xad\xf9G\x8f\xa2\xbc}\xd7\x18\x89\xa4\xfdFQ\x80m"\xf9\to^\xd9A\x98\xd2\xca\x1e(b\xa8\xbe\xc2m\xf7\n[O\x00\xbc\x87\x17\xed\x0cG\xf2=H\x0e\xc0\x14+\xcb\xd0\x1feT2\xf2Th\xec\xc2\xcf>6,<\x88X\x8f\xe9g\xa8\x00\xafr\x05\x95\rj\x9c\xc6\n\xbb\x8a\x019\xc1\x1ef#\x02[Rh\xd8\xdc|{6\xeb\xe8U\x91\xa4\xeb}\xf4s;E\xe72$i\xdft\xff\''  
,b'[\x94\x95T\xf4\xc4\xca\x8drO\x80\x14\xc9<H\xa2a\xdc\xf4`\xac>\xab\x03\xfa\x80Sx\x99\x14\x83$U\x0b\xfa\x8fv\xfd\xda\x1a\xa0\xebY\xaa\x01\xe2XsG\t\xcf\xae\xa0\xbf\x82iG\tQ \xb1\xfe\xa5k\x12\xd9\x12\xf7\x95\xa3\xa5\x8d`z\x19\x1a\x90-\x9aj\x15\xf6f>\x18\x08\xb8\x1f\x88\x1a\x80Th\xd0\x15\x9bw#\'`K\xa5\xf1\xbf"\xe79\xaf\xc7z%p\xa5\x9f\x14\xef\'1\x11\x05Gg\xe9\xda\xc9\x18~['  
,b':\xefRE\xd7\xa1?\xf3\xb5\xf7\xdd\xe2\xb6~\x85014\xc0\x8a\x80\xe1\xb5#\x94\x10\xb2\xa0\xfe\x87\xd1t\xc3$&\xde8\x195\xcd\xf4@3\x15\xcaK\xcc\xcd\r:\x83*\xd7l\xb6\xf2} \tJ\xb5xKfjh.\xfb\xb5\x91\xc6\xf2x\x8e\x83\xdc\xc3\xef\x8b\x8dW\xa6\xa6\xb0w\xd8\xf2G\xa5-\xc3\x87\x17;\xedH`:\xcd\x08ts\x9eqPE\xd7\xfc\xc4\x98\xb5\xe0\xad\xb7A\x7f\xcb\x01\xbd\x98\xd3Ea\xb9\x07\x80\xf8\x19'  
,b"8\xca\x7f!;\\\xde\x1b\x80i\x9b!\x1c??u\x13\x955\xd0xG\xff\xd7\xba\xfe+\x95\x0eu^\x15\x1a\x0e*\xfe\x8a\xafM\xc0\xd1Ty\xd7\xf1\xa7@\xd6\xa6\xee\x0c:It\x1a\xeag\xfc\x0c\xaf\x02<\x03T)\xeb\xb0\x15\x1cz\x85\x992\xa9\xbe\x9bm\xc4D\x83\xf7\xb5T\xdd9?\x94\xd4\x13\xb4\xb3\x8d\xa9\x92\x9dt\x86\xdb\x0b$\x19l\xb1\xb9\x05'o\xf3!\t\x01\x93'z\x15P\x88\xd7iN\n\x8bA\xb5\xd2}\xe8\x10"  
]  
  
for i in range(6):  
s_[i] = bytes_to_long(s_[i])  
cs_[i] = bytes_to_long(cs_[i])  
  
l = 6  
  
v = []  
for i in range(len(cs_)):  
v.append(int(crt([s_[i], cs_[i]], [n, N])))  
  
v = vector(ZZ, v)  
Lv = orthogonal_lattice(Matrix(v))  
L1 = orthogonal_lattice(Lv.submatrix(0, 0, l-2, l))  
x, y = L1  
for a in tqdm(range(333)):  
for b in tqdm(range(333)):  
z = a*x+b*y  
for each in (v-z):  
tmp = gcd(each,n)  
if tmp>1:  
p = tmp  
print(p)  
#7978551857962253313454963252022496626285144431813651809535891433131649452519578308319862195125825842154381150065971710486040955502919604739148480505138591
q = n//p  
assert p*q == n  
phi = (p-1)*(q-1)  
d = gmpy2.invert(e,phi)  
m = int(pow(enc,d,n))  
print(long_to_bytes(m))  
sys.exit()
#flag{34bf3913-5c26-4deb-a281-0f89d8bd8a83}