p,q相差不大,但n未知
题目:
from Crypto.Util.number import *
from flag import flag
def nextPrime(n):
n += 2 if n & 1 else 1
while not isPrime(n):
n += 2
return n
p = getPrime(1024)
q = nextPrime(p)
n = p * q
e = 0x10001
d = inverse(e, (p-1) * (q-1))
c = pow(bytes_to_long(flag.encode()), e, n)
d = 19275778946037899718035455438175509175723911466127462154506916564101519923603308900331427601983476886255849200332374081996442976307058597390881168155862238533018621944733299208108185814179466844504468163200369996564265921022888670062554504758512453217434777820468049494313818291727050400752551716550403647148197148884408264686846693842118387217753516963449753809860354047619256787869400297858568139700396567519469825398575103885487624463424429913017729585620877168171603444111464692841379661112075123399343270610272287865200880398193573260848268633461983435015031227070217852728240847398084414687146397303110709214913
c = 5382723168073828110696168558294206681757991149022777821127563301413483223874527233300721180839298617076705685041174247415826157096583055069337393987892262764211225227035880754417457056723909135525244957935906902665679777101130111392780237502928656225705262431431953003520093932924375902111280077255205118217436744112064069429678632923259898627997145803892753989255615273140300021040654505901442787810653626524305706316663169341797205752938755590056568986738227803487467274114398257187962140796551136220532809687606867385639367743705527511680719955380746377631156468689844150878381460560990755652899449340045313521804
解题思路:
- 已知
e
,d
,c
<font style="color:rgb(6, 6, 7);">e * d ≡ 1 (mod (p-1)(q-1))</font>
,即<font style="color:rgb(6, 6, 7);">e * d - 1 = t * (p-1)(q-1)</font>
(p-1)(q-1)
是2048位的二进制数e * d - 1
是2066位的二进制数- 因此,
t
是16位的二进制数,范围为2^15
到2^16 - 1
爆破**t**
- 由于
t
的范围较小,可以通过暴力枚举t
的值 - 对于每个
t
,计算(p-1)(q-1) = (e * d - 1) // t
- 检查
(e * d - 1) % t == 0
,确保t
是e * d - 1
的因数
恢复**p**
和**q**
- 计算
sqrt((p-1)(q-1))
,得到一个接近p
和q
的值 - 由于
q
是p
的下一个素数,可以通过以下方式找到p
和q
解答:
import gmpy2
import sympy
import libnum
d = 19275778946037899718035455438175509175723911466127462154506916564101519923603308900331427601983476886255849200332374081996442976307058597390881168155862238533018621944733299208108185814179466844504468163200369996564265921022888670062554504758512453217434777820468049494313818291727050400752551716550403647148197148884408264686846693842118387217753516963449753809860354047619256787869400297858568139700396567519469825398575103885487624463424429913017729585620877168171603444111464692841379661112075123399343270610272287865200880398193573260848268633461983435015031227070217852728240847398084414687146397303110709214913
c = 5382723168073828110696168558294206681757991149022777821127563301413483223874527233300721180839298617076705685041174247415826157096583055069337393987892262764211225227035880754417457056723909135525244957935906902665679777101130111392780237502928656225705262431431953003520093932924375902111280077255205118217436744112064069429678632923259898627997145803892753989255615273140300021040654505901442787810653626524305706316663169341797205752938755590056568986738227803487467274114398257187962140796551136220532809687606867385639367743705527511680719955380746377631156468689844150878381460560990755652899449340045313521804
e = int(0x10001)
#e∗d-1 = t * ( p − 1 ) ( q − 1 )
#print(len(bin(e*d-1)))2066-2048=16,相差16位
#爆破t
p = 0
q = 0
for t in range(pow(2, 15), pow(2, 16)):
if (e * d - 1) % t == 0:
phi = (e * d - 1) // t
p = sympy.prevprime(gmpy2.iroot(phi, 2)[0])
q = sympy.nextprime(p)
if ((p - 1) * (q - 1) == phi):
print(p)
print(q)
break
n = p * q
m = pow(c, d, n)
flag = libnum.n2s(int(m))
print(flag)
#143193611591752210918770476402384783351740028841763223236102885221839966637073188462808195974548579833368313904083095786906479416347681923731100260359652426441593107755892485944809419189348311956308456459523437459969713060653432909873986596042482699670451716296743727525586437248462432327423361080811225075839
#143193611591752210918770476402384783351740028841763223236102885221839966637073188462808195974548579833368313904083095786906479416347681923731100260359652426441593107755892485944809419189348311956308456459523437459969713060653432909873986596042482699670451716296743727525586437248462432327423361080811225076497
#NCTF{70u2_nn47h_14_v3ry_gOO0000000d}