连分数利用

题目:

from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import *

flag = b'NSSCTF{******}'

m1 = bytes_to_long(flag[:len(flag)//2])
m2 = bytes_to_long(flag[len(flag)//2:])

p1 = getPrime(1024)
p2 = next_prime(p1)

q1 = getPrime(400)
q2 = getPrime(400)

n1 = p1 * p1 * q1
n2 = p2 * p2 * q2

e1 = getPrime(128)
e2 = getPrime(128)

c1 = pow(m1, e1, n1)
c2 = pow(m2, e2, n2)


print(f'n1 = {n1}')
print(f'e1 = {e1}')
print(f'c1 = {c1}')

print(f'n2 = {n2}')
print(f'e2 = {e2}')
print(f'c2 = {c2}')

'''
n1 = 45965238261145848306223556876775641787109249067253988455950651872774381183888979035386577960806305813634216583223483001245996467366520071511779063266315692543617195166613592991812117446772937889819643718423377609566597230873623011099295202599905646652692946273375405832062164263711151844949794774229886016858313299259387152937467743637367261734624060321171598033647661809876890249035267180368762739600552966699295210431508056693524383116052539072065535970720901196322942269916455391238409489616842687658335666652878840458263998780783865062993401055465701207886230787204008073260653659510197069116237460322442433331870944968133645513020531983926180514313028320422449103156746225574626841023639595418255472716267486241462968101152032898749
e1 = 279586443815379026299414729432860797623
c1 = 11515318475856179010858377918435934663304239594599788732135470038988222237790835017056954077794506499559722814863240838882673078330335616745578747265404229105473136943188301293198548838105990504750972653445744347121859396823995101611868191609259910876207038154174100742978387355304521374228562928260479446249263909934393657537918407756957032700052269827171045167752168509783885071211516601218892308228572735545579606908430615218499620619028799140945676768341492724044499209913045110359935325510223652935426973411960865908064824205626343685369866932545651037748553442488682593143020861196339307665638704485958986411837014559504992818255506454051842453553265179370878637153602580071152915165775491633322055360737581203750897698007951117808
n2 = 25459365600568360055376316722846535809281537088824978187355135247184417413329012865221456308642116409716822227032113740366024809533942721286337697830775221199570509665320400376959076685728357107457862901087218522281771857981155239522807950207375964963527837592797198372303427082343684305143238075402697262610809363109748984974325271762535573995993132076293275456692621516174749076897962348000698039074721998780555541905706268579496243099763776676950336105074846695227221690550755501320117554250942600626927600558489780841103863110357615957088709321079080707735028039675102383525496673233697130053936053431067133520717494376952763684807635780416860233261892013531534059267366382617635000415723745274490604551078385404286689447761642713963
e2 = 249615977162294580923494787210301891647
c2 = 24544357952213952357056140974408354173440635791397720610932999473703241918398814255275362994811954064820912468224131892551724930677715676493892869921426790840199600798807085779112854131346378899855545138289836687048918660685766286852276199524789699567994154833159365800848535248059731927121269157841084905465048764152977389352561685340108834453730139893330210765986258703154334901509553990091592209268471594519326651914685843021165854654380119091009831071244459145750976193183411590207529489774630266528538380011000213950174694472355034075543687572037516433204151217601537869823709241020510051494619335852686100897182065588340025334679570763716458250649152257797833022586793526594784648938165537701256313728194521212887453997160504204832
'''

解题思路:

• p2是p1的下一个素数,他们离得非常近,因此p-q过小,这与基础RSA1中用费马分解求解一样,但这里两个非常近的素数并没有进行乘积,而是分开和其他数进行乘积,所以费马定理用不了

p = getPrime(512)
q = gmpy2.next_prime(p - getPrime(256))
n = p*q

• 这时可以考虑wiener攻击-连分数攻击

知识拓展:

解答:

from Crypto.Util import number
import gmpy2

n1 = 45965238261145848306223556876775641787109249067253988455950651872774381183888979035386577960806305813634216583223483001245996467366520071511779063266315692543617195166613592991812117446772937889819643718423377609566597230873623011099295202599905646652692946273375405832062164263711151844949794774229886016858313299259387152937467743637367261734624060321171598033647661809876890249035267180368762739600552966699295210431508056693524383116052539072065535970720901196322942269916455391238409489616842687658335666652878840458263998780783865062993401055465701207886230787204008073260653659510197069116237460322442433331870944968133645513020531983926180514313028320422449103156746225574626841023639595418255472716267486241462968101152032898749
e1 = 279586443815379026299414729432860797623
c1 = 11515318475856179010858377918435934663304239594599788732135470038988222237790835017056954077794506499559722814863240838882673078330335616745578747265404229105473136943188301293198548838105990504750972653445744347121859396823995101611868191609259910876207038154174100742978387355304521374228562928260479446249263909934393657537918407756957032700052269827171045167752168509783885071211516601218892308228572735545579606908430615218499620619028799140945676768341492724044499209913045110359935325510223652935426973411960865908064824205626343685369866932545651037748553442488682593143020861196339307665638704485958986411837014559504992818255506454051842453553265179370878637153602580071152915165775491633322055360737581203750897698007951117808
n2 = 25459365600568360055376316722846535809281537088824978187355135247184417413329012865221456308642116409716822227032113740366024809533942721286337697830775221199570509665320400376959076685728357107457862901087218522281771857981155239522807950207375964963527837592797198372303427082343684305143238075402697262610809363109748984974325271762535573995993132076293275456692621516174749076897962348000698039074721998780555541905706268579496243099763776676950336105074846695227221690550755501320117554250942600626927600558489780841103863110357615957088709321079080707735028039675102383525496673233697130053936053431067133520717494376952763684807635780416860233261892013531534059267366382617635000415723745274490604551078385404286689447761642713963
e2 = 249615977162294580923494787210301891647
c2 = 24544357952213952357056140974408354173440635791397720610932999473703241918398814255275362994811954064820912468224131892551724930677715676493892869921426790840199600798807085779112854131346378899855545138289836687048918660685766286852276199524789699567994154833159365800848535248059731927121269157841084905465048764152977389352561685340108834453730139893330210765986258703154334901509553990091592209268471594519326651914685843021165854654380119091009831071244459145750976193183411590207529489774630266528538380011000213950174694472355034075543687572037516433204151217601537869823709241020510051494619335852686100897182065588340025334679570763716458250649152257797833022586793526594784648938165537701256313728194521212887453997160504204832
#使用继续分数法来分解两个大整数的比值,这个方法可以用来找到两个大整数的最大公约数
def continuedFra(x, y):
    cF = []
    while y:
        cF += [x // y]
        x, y = y, x % y
    return cF
#用于简化继续分数表示的分数,返回最简形式的分子和分母
def Simplify(ctnf):
    numerator = 0
    denominator = 1
    for x in ctnf[::-1]:
        numerator, denominator = denominator, x * denominator + numerator
    return (numerator, denominator)
#生成一个继续分数序列,这个序列用于后续的攻击
def getit(c):
    cf = []
    for i in range(1, len(c)):
        cf.append(Simplify(c[:i]))
    return cf
#尝试找到两个模数n1和n2的一个非平凡的因子,它通过检查继续分数序列中的项来找到一个--
#--合适的p1和p2,使得n1%p1==0和n2%p2==0,且p1和p2不等于1
def attack(e, n):
    cf = continuedFra(e, n)
    for (p2, p1) in getit(cf):
        if p1 == 0:
            continue
        if n1 % p1 == 0 and p1 != 1:
            return p1, p2
    print('not find!')

q1, q2 = attack(n1, n2)
p1 = gmpy2.iroot(n1//q1, 2)[0]
p2 = gmpy2.iroot(n2//q2, 2)[0]
phi1 = p1*(p1-1)*(q1-1)
phi2 = p2*(p2-1)*(q2-1)
d1 = gmpy2.invert(e1, phi1)
d2 = gmpy2.invert(e2, phi2)
m1 = number.long_to_bytes(gmpy2.powmod(c1, d1, n1))
m2 = number.long_to_bytes(gmpy2.powmod(c2, d2, n2))
print(m1+m2)
#NSSCTF{ee5cb1a5-257a-48b0-9d62-9ef56ff0651a}