多因子_已知e,p,q,r,求m

题目:

from Crypto.Util.number import *

flag = b'NSSCTF{******}' + b'1'*170

p = getPrime(512)
q = getPrime(512)
r = getPrime(512)
n = p*q*r
e = 65537

phi = (p-1)*(q-1)*(r-1)
m = bytes_to_long(flag)
c = pow(m, e, n)

print(f'p = {p}')
print(f'q = {q}')
print(f'r = {r}')
print(f'e = {e}')
print(f'c = {c}')

'''
p = 10666139331774428325755287635566473140804481321882464031499529816800186578792308674238646794969384836340484775213796013129603472328582005363876462361316357
q = 8419311673449738061914489023962717718536471719688567807316495262754711350004888752049108347226115000749280146228195893953964759818878155006622123533942989
r = 12875078327453384158245832541544758526474680184252540739652077682353277702054275525591573258723948221345537075374635382175740236093131628077747126356403959
e = 65537
c = 424552463648937499189041230155623101311087334789253159440707211761796081289342164253743235182597460622581134089949035117444838205449163269030784233435435681797627188717450074808905561404960693227573181548281296514743775615606388692910356320667720308219275107443303501165027740512539959960217657836317351146520079753390346207659007421416917274795119021374032194294225350901136669304225010974617136606299060486198480556729770211945777266366417547752798441211059402
'''

解题思路:

φ(n)=φ(p1)φ(p2)φ(p3)...=(p1−1)(p2−1)(p3−1)...

解答:

from Crypto.Util.number import *

p = 10666139331774428325755287635566473140804481321882464031499529816800186578792308674238646794969384836340484775213796013129603472328582005363876462361316357
q = 8419311673449738061914489023962717718536471719688567807316495262754711350004888752049108347226115000749280146228195893953964759818878155006622123533942989
r = 12875078327453384158245832541544758526474680184252540739652077682353277702054275525591573258723948221345537075374635382175740236093131628077747126356403959
e = 65537
c = 424552463648937499189041230155623101311087334789253159440707211761796081289342164253743235182597460622581134089949035117444838205449163269030784233435435681797627188717450074808905561404960693227573181548281296514743775615606388692910356320667720308219275107443303501165027740512539959960217657836317351146520079753390346207659007421416917274795119021374032194294225350901136669304225010974617136606299060486198480556729770211945777266366417547752798441211059402

n=p*q*r
phi = (p-1)*(q-1)*(r-1)
d = inverse(e, phi)
m = pow(c, d, n)

print(long_to_bytes(m))
#NSSCTF{3th_number!}11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

当m比较小时,此时就算公钥对应的私钥不存在(逆元不存在),我们可以考虑将公钥转化为其他公钥(用原公钥因子进行重组)再尝试求解私钥进行解密,依然可以得到正确结果
这其实也就解释了为什么需要加上大量字符串的填充,就是为了防止使用该方法直接解出