【图论】浅谈JohnSon全源最短路

前置知识

SPFA、Dijkstra.

引文

先是给一道题目：

给定一个包含 n 个结点和 m 条带权边的有向图，求所有点对间的最短路径长度，一条路径的长度定义为这条路径上所有边的权值和。

看到最短路，你也许会想到最短路；

然而发现它居然会有负边，也就是说可能会有负环，你便可能想到 SPFA 或是 Floyd，

但是时间复杂度一个为 \(O(n^2m)\) ，一个为 \(O(n^3)\) ，都不能很快的通过此题，

这便需要我们用到 \(JohnSon\) 全源最短路算法了。

正文

首先我们可以发现，

设 \(dis_x\) 为 \(x\) 与起点之间的最短路，

\(w_{x,y}\) 为 \(x\) 与 \(y\) 之间的边权，

则有当 \(x -> y\)

\(dix_x <= dix_y + w_{x,y}\)

\(dis_y + w_{x, y} - dix_x >= 0\)

这样就构成了一个没有负数边权的图，我们可以以此来更新边权，

那么我们考虑新建一个源点连向每个点一个长度为 \(0\) 的边，然后跑一遍 SPFA 求出到每个点的最短路 \(dis_x\)，然后对于每条边 \(u→v\)，将其权值变为 \(w_{x,y}+dis[u]−dis[v]\) ，再从每个点跑 Dijkstra 即可。时间复杂度 \(O(nm+nm\log_n)\) 稀疏图吊打 Floyd。