DP专场

CF1814E Chain Chips

好久没写这种题了~~

不带修时，为了让总距离和最短，考虑让相邻的车互换位置，但如果单纯这样有可能剩下一辆车，那就让相邻的三辆车换一下。发现当车的个数 \(x \ge 4\) 时，都可以拆成 \(2\) 辆或 \(3\) 辆车。对应到边就是只能选相邻的一条边或两条边。设 \(dp_i\) 表示第 \(i\) 条边必选且满足条件的答案，那么：

\[dp_i = \min(dp_{i-1}, dp_{i-2}) + a_i \]

利用加法对取 \(\text{min}\) 操作的分配律，转化为广义矩乘递推：

\[\begin{bmatrix} dp_{i-2} & dp_{i-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \infty & a_i \\ 0 & a_i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dp_{i-1} & dp_i \end{bmatrix}\]

用线段树维护支持修改。

CF1774E Two Chess Pieces

考虑每个棋子必须经过哪些点：

• 子树里有己方标记点的点
• 与子树中对方最深标记点距离大于 \(d\) 的点

除根结点外每个需经节点贡献为 \(2\)，一遍 \(\text{dfs}\) 解决。

虚假的 \(\text{dp}\)，真实的贪心

CF1763D Valid Bitonic Permutations

看到数据范围都很小啊，考虑枚举拐点 \(\text{id}\) 在哪个位置。首先有个很容易被忽略的隐藏条件（也有可能是我比较逊没想到），拐点的数值必是 \(n\)。然后拐点在每个位置的贡献就可以暴力分为 \(6\) 类：

\[\begin{cases} \binom{x-y-1}{j-i-1}\binom{y-1}{n-j}\binom{n-x-1}{i-id-1}\left [ x > y \right ] &\text{if}\ \ id < x\\ \binom{x-y-1}{j-i-1}\binom{y-1}{n-j}\left [ x > y \right ]\left [ x = n \right ] &\text{if}\ \ id = x\\ \binom{n-y-1}{j-id-1}\binom{x-1}{i-1}\binom{y-1-x}{n-j-(x-1-(i-1))}\left [ x < y \right ] &\text{if}\ \ x < id < y\\ \binom{n-x-1}{id-i-1}\binom{y-1}{n-j}\binom{x-1-y}{i-1-(y-1-(n-j))}\left [ x > y \right ] &\text{if}\ \ x < id < y\\ \binom{y-x-1}{j-i-1}\binom{x-1}{i-1}\left [ x < y \right ]\left [ y = n \right ] &\text{if}\ \ id = y\\ \binom{y-x-1}{j-i-1}\binom{x-1}{i-1}\binom{n-y-1}{id-j-1}\left [ x < y \right ] &\text{if}\ \ id > y \end{cases}\]

除了中间两类（拐点不在中间的时候）都很好理解啊，考虑拐点在中间的情况，以 \(x < y\) 为例。先把一定不冲突的选掉，即 \(\text{id}\) 到 \(j\) 中间的与 \(i\) 之前的。剩下比 \(x\) 小的必然放在 \(j\) 右边，再把比 \(y\) 小的剩下数选一些填满 \(j\) 的右边，最后剩下的数排在 \(i\) 和 \(\text{id}\) 间。

真实的数学，虚假的 \(\text{dp}\)

CF1762F Good Pairs

如果直接从一个位置 \(a_{i_x}\) 往前找和它差的绝对值不超过 \(k\) 的位置并直接转移，用线段树维护发现会算重。

但其实有这样一个事实，当 \(a_{i_{x-2}} \le a_{i_{x-1}} \le a_{i_x}\) 时，其实可以直接从 \(a_{i_{x-2}}\) 转移到 \(a_{i_x}\)。于是所有可选序列都可以被缩成单调不降或单调不增的。

考虑只考虑单调不降的，反过来再做一遍，再把全相同的算重的部分减掉。

设 \(dp_i\) 表示当当前右端点 \(r\) 为 \(i\) 时左边合法的 \(l\) 个数。找到 \(i\) 左侧满足 \(a_j \le a_i\) 并且 \(|a_i-a_j| \le k\) 的第一个 \(j\)。满足条件的 \(l\) 可以被分为三类：

1. 在 \(j\) 和 \(i\) 之间 \(l\) 的必然不满足。
2. 在 \(j\) 左侧且值域在 \((a_j,a_i]\) 的 \(l\) 都可转移到 \(i\)。
3. 在 \(j\) 及其左侧且值域在 \([1,a_j]\) 的 \(l\) 都直接通过 \(dp_j\) 转移。

用线段树维护即可。注意每次不能暴力建树，做一遍反操作清空。

CF1840F Railguns

设 \(dp_{t, i, j}\) 表示在第 \(t\) 秒在 \((i, j)\) 是否可行。则：

\[dp_{t, i, j} = dp_{t-1, i, j} \ | \ dp_{t-1, i-1, j} \ | \ dp_{t-1, i, j-1} \]

第一维可以滚动数组，后两维可以压成一维。

CF1843F2 Omsk Metro (hard version)

发现树上一条路径 \(x \to y\) 一旦建立，由于没有撤销操作，这条路径就固定不变了。于是把整棵树建好，把询问离线下来，就是一个静态问题了。

由于点权值域为 \({-1, 1}\)，一条路径的上每拓展一个节点其权值和在整数域上是连续变化的，故只要求一条路径的最大子段和与最小子段和，看 \(k\) 是否在这个区间即可。

具体的用倍增实现，在 \(\text{lca}\) 处合并时要把其中一条链翻转一下，注意空串和为 \(0\)。

CF1827C Palindrome Partition

CF1750F Majority

有一位伟人告诉我们：正难则反

这题的 \(\text{dp}\) 状态设置非常巧妙，满足条件的方案数等于总方案数减去不满足条件的方案数。当一个串的两端都为 \(1\) 时，对于不满足条件的方案，完成所有可行的操作后，必然形成 \(01\) 相间的串，且首尾均为 \(1\) 串。设 \(dp_{i, j}\) 表示可行操作结束后长度为 \(i\) 的左右两端均为 \(1\) 的最右端为长为 \(j\) 的 \(1\) 的串包含的方案数。

于是对于 \(dp_{i, i}\) 有：

\[dp_{i, i} = 2^{i-2} - \sum_{j=1}^{i-1} dp_{i, j} \]

对于 \(dp_{i, j}(j < i)\)，考虑在末尾的 \(1\) 串左边添一个长为 \(k\) 的 \(0\) 串，再接一个末尾为长为 \(m\) 的 \(1\) 串的串。所以：

\[dp_{i, j} = dp_{j, j} \times \sum_{k=j+2}^{i-j-1}\sum_{m=1}^{k-j-1} dp_{i-j-k, m} \]

其中 \(dp_{n, n}\) 即为答案，暴力计算为 \(O(n^4)\)。内层的求和显然可以前缀和优化，外层的求和为第一个前缀和矩阵上的斜前缀和，优化后为 \(O(n^2)\)。