Link-Cut-Tree学习笔记

P3690 【模板】动态树（Link Cut Tree）

基本概念其他博客里都有，就不重复了。

• 本质维护一个文艺splay森林。
• 每一个splay中的点集合在实树中构成一条链
• 其中splay保证以每个节点在实树中的\(dpt\)为\(key\),是一棵bst。
• 一棵splay的根也会有一个\(fa\)，但那个\(fa\)却不认它这个\(son\)
• 虚边，即根与外界连的那条边，在实树上存在于该splay最左边（即\(key\)最小，\(dpt\)最浅）的那个点与上一条中的\(fa\)之间。
• 实边，即一棵splay内部的边，与实树的边其实并没有关系。
• 个人认为过于强调这两种边与 轻重链剖分 中的轻边与重边的关系并不恰当

*实树：题目里给出的，真实存在的那一棵树。

有关文艺splay部分，参见P3391 【模板】文艺平衡树，即带翻转的splay

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access(x)：最基础的操作，使 \(x\)所属实树的根到\(x\) 这条链形成一个splay，splay的根是 \(x\)所属实树的根。

从\(x\)开始往上操作

while(x) 中逐步解析：

• splay(x);

显然， 将\(x\)旋为所属splay的根。

• heavy_link(son,x,1);

若是第一次循环，转换\(x\)与其它 实树中在他下面的其他乱七八糟的点的实边，为虚边。即，从今以后，\(x\)与那个点就不在同一个splay中了

在\(x\)与\(son\)之间连一条重边，即从今以后\(son\)，即上一次循环中的\(x\)，通过\(fa\)爬上来了当前的\(x\)（由于上次的\(x\)一定是之前那个splay的根，故用\(fa\)爬一定爬的是实树中的\(fa\)），与\(x\)是在同一个splay中了。由于\(son\)的\(dpt\)一定比\(x\)要大，故这样连一定是合法的。

• pushup(x);

都连边了肯定要pushup(x)的嘛

• son=x;

• x=tr[x].fa;

往上爬

inline void access(int x){
	int son=0;
	while(x){
		splay(x);
		heavy_link(son,x,1);
		pushup(x);
		son=x;
		x=tr[x].fa;
	}
}

以上，循环中每次一个一个heavy_link，把\(x\)到根的所有点都加到同一个splay中，即可达成access(x)的目的了。

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makeroot(x)使\(x\)成为其所在实树的根

想象我们的实树，如何让\(x\)取代\(root\)成为根？

（自己脑补动图）

考虑改变splay中每个节点的\(dpt\)。由于我们的splay中不是真的存了每个节点的\(dpt\)，而只是通过splay内部的边，以及各splay之间的关系来间接体现\(dpt\)。

因此在搞清楚之前我们先来access(x)吧！

• access(x);

就是他那个功能

容易发现，现在需要改变的splay内相对\(dpt\)的只有自\(root\)至\(x\)路径上的所有的点，其他splay中的点的\(dpt\)显然会随着其根所连虚边另一端的点的\(dpt\)的改变而做出正确改变，因此不需要我们去管。

那么考虑那条链上节点的\(dpt\)应该怎么改变呢？

（再自己脑补标上\(dpt\)的动图）

没错，只需要对整个splay，即整条链，做一个reverse(x)就可以了

• reverse(x);

原理与作用参见P3391 【模板】文艺平衡树。

• pushup(x);

日常pushup(x)

inline void makeroot(const int &x){
		access(x);
		reverse(x);
		pushup(x);
	}

以上，makeroot(x)。

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findroot(x),找到\(x\)所属实树的根。

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split(x，y)，使\(x\)成为所属实树的根，使\(y\)到\(x\)的链在同一以\(y\)为根splay中。通俗地讲，将\(x\)与\(y\)拉成一条链。LCT得以进行链上操作的基础。

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link(x,y)，在\(x\)，\(y\)之间连一条实际的，实树上的边。

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cut(x,y)，切断\(x\),\(y\)之间实际的，实树上的边。

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modify(x,val)，修改\(x\)节点的\(val\)为\(val\)（迷惑）。

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有关链上询问，只需split(x，y)，然后\(x\)到\(y\)路径上的信息都由代表这条链的splay的根\(y\)储存了。