有理分式的取模运算

引出
一些取模的基本运算：
（a+b）%p=(a%p+b%p)%p 对
（a-b）%p=(a%p-b%p)%p 对
（a×b）%p=(a%p×b%p)%p 对
（a/b）%p=(a%p/b%p)%p 错

一些符号的说明
≡： a≡b(mod p) 表示 a和b分别模p，余数相同，即a和b对p取模同余

乘法逆元的定义
若在mod p意义下，对于一个整数a，有a*p≡1(mod p)，那么这个整数x即为a的乘法逆元，同时a也为x的乘法逆元

充要条件
a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p)=1，即a与p互质

有理分数的取模
求取(a/b)%p 等同于 a(b的逆元)%p
证明：
设b的x的逆元为x，即bx≡1(mod p)
对于式① (a/b)%p=m
①×b得② a%p=mb %p
②×x得③ ax=mbx %p
即 ax≡mbx (%p)
又因为　 bx≡1(%p)
所以 ax≡m(%p)
因此 (a/b)%p=m 也就是 ax≡m(%p)

逆元的求解
费马小定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么
1.如果a是p的倍数，a^p≡a(%p)
2.如果a不是p的倍数，a^(p-1)≡1(%p)
又因a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p)=1，所以a肯定不是p的倍数，因此
a^(p-1)≡1(%p)
即 aa^(p-2)≡1(%p) a^(p-2)就是a的乘法逆元
a%p(a^(p-2)%p)=1%p

有理分数的取模运算
综上所述，得出结论：
(b/a)%p=(ba的逆元)%p=(ba^(p-2))%p

代码实现
代码出自：https://www.jianshu.com/p/d0a083a7e4c1

public class Mod {

    public static final long MOD = 1_000_000_007;

    /**
     * 模乘
     * @param x
     * @param y
     * @return x * y % MOD
     */
    public static long mul(long x, long y) {
        return ((x % MOD) * (y % MOD)) % MOD;
    }

    /**
     * 模加
     * @param x
     * @param y
     * @return (x + y) % MOD
     */
    public static long add(long x, long y) {
        return  ((x % MOD) + (y % MOD)) % MOD;
    }

    /**
     * 模快速幂
     * @param x
     * @param n
     * @return x^n % MOD
     */
    public static long quickPower(long x, long n) {
        if (n == 0) return 1;
        if (n == 1) return x % MOD;
        long tmp = quickPower(x, n >> 1);
        return (n & 1) == 0 ? mul(tmp, tmp) : mul(x, mul(tmp, tmp));
    }

    /**
     * 分数求模
     * 费马小定理 a^(p-1) mod p = 1 mod p
     * a * a^(p-2) mod p = 1 mod p
     * a^(p-2) mod p = a^(-1) mod p
     * (b/a) % p = b * a^(-1) % p = b * a^(p-2) % p
     * @param a 分母
     * @param b 分子
     * @return (b/a) % MOD
     */
    public static long fractionMod(long a, long b) {
        return mul(b, quickPower(a, MOD-2));
    }

}