1. 度量空间

1. 度量空间

度量空间是一大类空间, 它可以被看作实直线\(\mathbb{R}\)的推广. 正如我们可以在实直线上讨论点列的收敛, 开闭, 稠密等性质一样,我们亦可以再度量空间中进行类似的讨论. 本节将围绕度量空间之一概念, 介绍其基本的特征, 并给出一些典型的例子.

1.1 距离

我们已经了解了\(n\)维欧氏空间中两点之间的距离, 即如果在\(n\)维欧氏空间中存在两点\(x=(x_1,\cdots,x_n)\)和\(y=(y_1,\cdots,y_n)\), 则它们之间的距离被定义为

\[d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}, \]

这个距离\(d(x,y)\)对\(x\)和\(y\)两点间的位置关系进行了测定, 是二者位置关系的一种精确表述. 因此我们有时也将距离称为度量. 在一般的空间上我们也有类似的概念.

Def 1.1. 设\(X\)是一个非空的集合,且对于任意的两个元素\(x,y\in X\), 存在唯一的实数\(d(x,y)\)依照某一法则与它们对应, 并满足：
(1). 非负性：\(d(x,y)\geq0\), \(d(x,y)=0\)当且仅当\(x=y\);
(2). 三角不等式：\(d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z),\quad \forall x,y,z\in X\),
则称\(d(x,y)\)是集合\(X\)中\(x\)与\(y\)之间的距离(或度量).

根据距离满足的两条性质, 我们不难推出距离还满足第三条性质：
(3). 对称性：\(d(x,y)=d(y,x)\).
在三角不等式中取\(z=x\)即可得到证明. 此外距离嗨满足以下性质：
(4). \(|d(x,y)-d(y,z)|\leq d(x,z),\quad x,y,z\in X\).

在某个距离意义下, 集合\(X\)被称为一个度量空间.

Def 1.2. 设\(d(x,y)\)是集合\(X\)中任意两个元素之间的距离, 则称\(X\)是以\(d\)为距离的度量空间(或距离空间), 记为\((X,d)\). 此时\(X\)中的元素称为\(X\)中的点. 如果\(Y\subset X\), 仍将\(d\)作为\(Y\)上的距离, 则\((Y,d)\)也是度量空间, 称之为\(X\)的子空间, 记为\((Y,d)\subset (X,d)\).

度量空间的定义依赖于距离, 即对于同一个集合\(X\), 如果在其上的距离\(d_1\)和\(d_2\)不相同, 则\((X,d_1)\)和\((X,d_2)\)是两个不同的度量空间. 在不需要区别距离的情况下, 我们可以将距离略去,直接将度量空间记为\(X\).

Def 1.3. 设\((X,d)\)是一个度量空间, 如果存在常数\(\alpha>0\), 使得任何\(x,y\in X\)且\(x\neq y\)都有\(d(x,y)\geq \alpha\), 则称度量空间\((X,d)\)是一致离散的.

下面是一个一致离散度量空间的例子. 对于任何非空集合\(X\), 引入距离

\[d_0(x,y)=\left\{\begin{aligned} &0,\quad x=y\in X,\\ &1,\quad x\neq y, x,y\in X, \end{aligned}\right.\\ \]

则\((X,d_0)\)满足一致离散度量空间的定义.

1.2 极限

根据定义,度量空间中的距离是一个将集合\(X\)中的元素映射到实数空间\(\mathbb{R}\)上的映射, 我们很自然的想去考察其极限, 即收敛性. 一般来说我们在度量空间中有如下的极限定义.

Def 1.4. 设\((X,d)\)是一个度量空间, \(\{x_n\}\)是\(X\)中的一个点列, 且\(x\in X\), 当\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}d(x_n,x)=0\)时, 称点列\(\{x_n\}\)按照距离\(d\)收敛于\(x\), \(\{x_n\}\)是收敛点列, \(x\)是\(\{x_n\}\)的极限.

度量空间中的极限有如下性质.

Thm 1.5. 在度量空间中, 收敛点列的极限唯一.

证明： 使用反证法, 假设\(x,y\)都是点列\(\{x_n\}\)的极限, 根据度量空间距离的定义, 有

\[0\leq d(x,y) \leq d(x_n,x) + d(x_n,y),\\ \]

令\(n\to\infty\), 根据迫敛性得到\(d(x,y)=0\), 即\(x=y\). \(\blacksquare\)

Thm 1.6. 如果\(x_n\to x_0\), \(y_n\to y_0\), 则\(d(x_n,y_n)\to d(x,y)\).

证明： 连续使用两次三角不等式, 得到

\[d(x_n,y_n) \leq d(x_n, x_0) + d(x_0, y_0) + d(y_0, y_n),\\ \]

同理有

\[d(x_0,y_0) \leq d(x_0, x_n) + d(x_n, y_n) + d(y_n, y_0),\\ \]

两式相减,得到

\[|d(x_0,y_0)-d(x_n,y_n)|\leq d(x_n,x_0) + d(y_n,y_0),\\ \]

取极限即可. \(\blacksquare\)

Def 1.7. 设\((X,d)\)是一个度量空间, \(x_0\in X\), 对于有限的\(r>0\), 称集合\(\{x|x\in X, d(x,x_0)< r\}\)为\(x_0\)的一个开球, 简记为\(B(x_0,r)\).

这里的开球是对直线上开球的更进一步描述, 一个开球\(B(x_0,r)\)指的是以点\(x_0\)为中心, 半径为\(r\)的球形区域内的所有点的集合. 有时也将\(B(x_0,r)\)称为\(x_0\)的一个\(r\)-环境. 在一般的度量空间中, 一个点的开球可能包含无数个点, 如欧氏空间中的开球, 也可能只包含一个点, 下面给出一个例子. 在一致离散的度量空间中, 对于不同的两点\(x,y\), 距离\(d_0(x,y)=1\)(\(d_0\)是1.1节中给出的距离), 则对于正数\(0<r<1\), 可验证每一点的一个开球中只有一个点.

Def 1.8. 设\((X,d)\)是一个度量空间,\(x_0\in X\), 对于集合\(Y\subset X\), 如果存在\(r>0\)使\(Y\subset B(x_0,r)\), 则称集合\(Y\)是\(X\)中的有界集.

简而言之, 有界集是指这个集合能够被度量空间中的一个开球完全包含.

Thm 1.9. 设\(\{x_n\}\)是度量空间\(X\)中的收敛点列, 则\(\{x_n\}\)有界.

证明： 设\(x_n\to x_0\), 根据收敛的定义, 存在自然数\(N\), 使得当\(n\geq N\)时,\(d(x_n,x_0)\leq 1\), 此时取\(r= \max(1,d(x_0,x_2),\cdots, d(x_0,x_{N-1}))+1\), 从而使得\(\{x_n\}\)包含在开球\(B(x_0,r)\)中.\(\blacksquare\)

1.3 点集

内点与开集

在定义了度量空间和其上面的极限后, 我们需要对其中的点集进行讨论. 从而划分出内部的不同性质的集合. 类似于直线上的点集, 我们有以下概念.

Def 1.10. 设\(Y\)是度量空间\(X\)中的点集,\(x_0\in Y\), 如果\(Y\)包含\(x_0\)的一个开球，则称\(x_0\)是\(Y\)的内点. 如果\(Y\)中的每一点都是其内点，则么就称\(Y\)是\(X\)中的开集.

度量空间中的开球\(B(x_0,r)\)是开集. 这是因为对于\(z\in B(x_0,r)\)，有\(d(z,x_0)< r\), 此时取\(0<\varepsilon< r-d(x_0,z)\), 则当\(d(x,z)<\varepsilon\)时\(d(x,x_0)\leq d(x,z)+d(z,x_0)<r\), 得到\(B(z,\varepsilon)\subset B(x_0,r)\). 这意味着\(B(x_0,r)\)中的每一点都是自己的内点，从而它是开集. 一致离散的度量空间中的所有子集都是开集. 这是因为每一个点都有一个开球\(B(x_0,r)(r\in(0,1))\)只包含\(x_0\)这一点，从而每一点都是内点.

有了开集的概念，我们可以将开球的概念再次延伸一下. 设\(x_0\)是度量空间\(X\)中的一个点，任何包含\(x_0\)的开集都称为\(x_0\)的一个邻域，或称环境, 记为\(B(x_0)\).

对于开集，有以下性质：

Thm 1.11. 在度量空间中，(1). 规定空集是开集，全空间也是开集；(2). 任意个开集的并集是开集，有限个开集的交集是开集.

证明： 仅证明(2). 设\(\{M_l|l\in I\}\)是\(X\)中的任意一族开集. 设\(x\in\bigcup_{l\in I}M_l=M\), 那么有\(l\in I\), 使得\(x\in M_l\), \(M_l\)是\(X\)中的开集，从而\(x\)是\(M_l\)的内点, 于是必然存在\(x\)的开球\(B(x,r)\subset M_l\subset M\). 所以\(x\)为\(M\)的内点. 即证明任意个开集的并集是开集. 再假设\(M_1,\cdots,M_n\)为有限个开集，取\(x\in \bigcap_{\nu=1}^nM_\nu\), 于是\(x\)在每个开集之中. 由于\(x\)为开集\(M_\nu\)的内点，存在\(r_\nu>0\)使得\(B(x,r_\nu)\subset M_\nu\), \(\nu=1,2,\cdots,n\). 取

\[r=\min_{1\leq \nu\leq n}r_\nu,\\ \]

则\(B(x,r)\subset \bigcap_{\nu=1}^nM_\nu\), 所以\(x\)是\(\bigcap_{\nu=1}^nM_\nu\)的内点, \(\bigcap_{\nu=1}^nM_\nu\)是开集.\(\blacksquare\)

Def 1.12. 设\(Y\)是度量空间\(X\)中的点集, \(Y\)的内点全体所成的点集称为\(Y\)的核，记为\(K(Y)\).

Thm 1.13. 度量空间中点集\(Y\)的核\(K(Y)\)是开集; 对于\(Y\)的任何开子集\(G\)都有\(G\subset K(Y)\); \(Y\)是开集的充要条件是\(Y=K(Y)\).

证明： 任取\(x_0\in K(Y)\), 必有\(B(x_0,\varepsilon)\subset Y\). 由于\(B(x_0,\varepsilon)\)是开集，它也是\(B(x_0,\varepsilon)\)中每点\(z\)的邻域，从而\(B(x_0,\varepsilon)\)中的每个点\(z\)都是\(Y\)的内点，\(z\in K(Y)\), 即\(B(x_0,\varepsilon)\subset K(Y)\). 从而\(x_0\)是\(K(Y)\)的内点，\(K(Y)\)是开集. 设\(G\subset Y\), 由于\(G\)是开集，当\(x\in G\)时存在\(x\)的邻域\(B(x)\subset G\subset A\), 所以\(x\)是\(Y\)的内点，因此\(x\in K(Y)\), 即\(G\subset K(Y)\). 以上两条性质得到\(Y\)是开集的充要条件是\(Y=K(Y)\).\(\blacksquare\)

聚点与闭集

有了开集的概念我们自然想定义闭集，在度量空间中，闭集的概念由聚点导出.

Def 1.14. 设\(Y\)是度量空间\(X\)中的点集, \(x_0\in X\), 对于任意\(r>0\), 总在\(x_0\)的开球\(B(x_0,r)\)中有属于\(Y\)而异于\(x_0\)的点，则称\(x_0\)是点集\(Y\)的聚点，亦称极限点. 相反, 如果存在\(x_0\)的邻域\(B(x_0)\)使得在其中除了\(x_0\)外不含有\(Y\)的点，称\(x_0\)是\(Y\)的孤立点. 如果\(X\)中的每一点都是孤立点，则称\(X\)是离散的度量空间.

聚点和孤立点是一组相对立的概念，这意味着度量空间中的点要么是聚点，要么是孤立点. 但点集的内点可以是孤立点. 我们主要讨论聚点，它有以下的等价定义.

Lemma 1.15. 设\(Y\)是度量空间\(X\)中的点集, \(x_0\in X\), \(x_0\)是\(Y\)的聚点与以下说法彼此等价：
(1). \(\left(B(x_0)-\{x_0\}\right)\cap Y\neq \varnothing\);
(2). 存在点列\(\{x_n\}\subset Y\), 使得\(x_n\neq x_0\)且\(x_n\to x_0\);
(3). 在\(Y\)必有一列互不相同的点\(\{x_n\}\)且\(x_n\neq x_0\), 使得\(x_n\to x_0\).

下面一组概念定义了度量空间中不同情况下的点集.

Def 1.16. 设\(Y\)是度量空间\(X\)中的点集, 称\(Y\)的全体聚点所成的集合为\(Y\)的导集, 记为\(Y'\). 称\(\overline{Y}=Y\cup Y'\)为\(Y\)的闭包.
(1). 如果\(Y'\subset Y\), 称\(Y\)为闭集;
(2). 如果\(Y\cap Y'=\varnothing\), 称\(Y\)为孤立点集;
(3). 如果\(Y\subset Y'\), 称\(Y\)为自密集;
(4). 如果\(Y=Y'\), 称\(Y\)是完全集.

Def 1.16 涉及到了六个概念，其中比较重要的是闭包和闭集. 关于闭包我们有以下的引理.

Lemma 1.17. \(Y\)是度量空间\(X\)中的点集, \(x\in X\), 则\(x\in \overline{Y}\)与以下结论相互等价：
(1). \(x\)的每个环境\(B(x)\)中都包含\(Y\)中的点.
(2). 存在点列\(\{x_n\}\subset Y\)使得\(x_n\to x\).

证明： 设\(x\in \overline{Y}\), 如果\(x\in Y\), 则\(B(x)\)自然存在\(Y\)的点. 如果\(x\in Y'\), 而\(x\notin Y\), 此时\((B(x)-\{x\})\cap Y\neq \varnothing\), 则\(B(x)\)中亦存在\(Y\)的点.
如果\(x\)的每个环境\(B(x)\)中都包含\(Y\)中的点, 不妨取环境\(\displaystyle B\left(x,\frac{1}{n}\right)\), 其中包含\(Y\)的点\(x_n\), 则点列\(\{x_n\}\subset Y\), \(d(x_n,x)<\frac{1}{n}\), 故\(x_n\to x\).
最后再假设\(\{x_n\}\subset Y\), 且\(x_n\to x\). 如果\(x\in Y\), 则自然有\(x\in \overline{Y}\). 而如果\(x\notin Y\), 由于\(\{x_n\}\subset Y\), 所以\(x_n\neq x\), 则得到\(x\in Y'\), 亦属于\(\overline{Y}\). \(\blacksquare\)

类似于开集，闭集也有以下的性质.

Thm 1.18. 在度量空间中，(1). 规定空集是闭集，全空间也是闭集；(2). 任意个闭集的交集是闭集，有限个闭集的并集是闭集.

闭集和开集一般来说是相对的概念，但也不排除存在即开又闭的集合, 如空集. 对于离散的度量空间来说，由于它的每一点都是孤立点，从而每个点集都是闭集，同时还是开集. 与实直线上的情况类似, 闭集减开集的差集是闭集，而开集减闭集得到的差集是开集.

Thm 1.19. 度量空间\(X\)中的点集\(Y\)的导集\(Y'\)和闭包\(\overline{Y}\)都是闭集.

证明： 我们仅证明导集的情况，闭包的证明是类似的. 设\(x_0\)为\(Y'\)的聚点，任取\(a>0\), 则

\[y\in (B(x_0,a)-\{x_0\})\cap Y',\\ \]

取\(\varepsilon =\min(a-d(x_0,y),d(x_0,y))\), 则\(\varepsilon>0\), 且\(B(y,\varepsilon)\subset B(x_0,a)\), 而\(x_0\neq B(y,\varepsilon)\). 由于\(y\in Y'\), 在\(B(y,\varepsilon)\)中必有\(x\in Y\). 所以\(x\in B(x_0,a)\), 但\(x_0\neq x\), 因此\((B(x_0,a)-\{x_0\})\cap Y'\neq \varnothing\). 所以\(x_0\)是\(Y\)的聚点, \(x_0\in Y'\), 从而\(Y'\)是闭集. \(\blacksquare\)

闭包\(\overline{Y}\)包含着集合\(Y\)的最小闭集. 换而言之, 如果闭集\(F\)包含集合\(Y\), 则 \(F\supset \overline{Y}\). 进一步，\(Y\)的闭包\(\overline{Y}\)是\(X\)中所有包含\(Y\)的闭集的并:

\[\overline{Y} = \bigcap_{F\supset Y} F,\quad F\subset X, F'\subset F.\\ \]

Thm 1.20. 度量空间\(X\)中的点集\(Y\)是闭集的充要条件是：
(1). \(Y\)中任何一个收敛点列收敛于\(Y\)中的一点.
(2). \(Y\)的余集\(X-Y\)是开集.
(3). \(Y=\overline{Y}\).
以上条件满足一条即可.

境界点，连通性

对闭包概念进一步延申，我们有:

Def 1.21. 设\(Y\)是度量空间\(X\)中的点集, 集合\(\overline{Y}\cap \overline{(X-Y)}\)被称为\(Y\)的境界, 记为\(\Gamma(Y)\). \(\Gamma(Y)\)中的点称为\(Y\)的境界点. \(X-\overline{Y}\)中的点被称为\(Y\)的外点.

境界点的特征是它的任何一个开球中既有\(Y\)中的点，也有不在\(Y\)中的点. 换而言之，\(Y\)的境界点可以属于\(Y\)也可以不属于\(Y\). 任意点集的境界都是闭集, \(Y\)的境界同时也是\(X-Y\)的境界，即\(\Gamma(Y)=\Gamma(X-Y)\). 此外

\[\overline{Y}-K(Y)=\overline{Y}\cap(X-K(Y))=\overline{Y}\cap \overline{(X-Y)}=\Gamma(Y),\\ \]

即\(Y\)的境界等于它的闭包减去它的核. 点集\(Y\)的外点等同于点集\(X-Y\)的内点.

集合的开闭性的一个作用是判断度量空间是否连通.

Def 1.22. 如果度量空间\(X\)不能被分解为两个互不相交的非空闭集的并，则称度量空间\(X\)是连通的. 否则称\(X\)是非连通的.

以上定义中的非空闭集，可以换为非空开集, 但是要注意两个集合的开闭性必须相同.

点集间的距离

仿照度量空间中距离的概念，我们可以定义两个点集之间的距离.

Def 1.23. 设\(E\)和\(F\)分别为度量空间\(X\)中的非空点集，称\(\displaystyle\inf_{x\in E, y\in F}d(x,y)\)为\(E\)与\(F\)之间的距离，记为\(d(E,F)\). 如果\(E\)中只包含一点\(x_0\)，此时\(d(E,F)\)表示点\(x_0\)到集合\(F\)的距离, 一般记为\(d(x_0,F)\).

Thm 1.24. \(Y\)为度量空间\(X\)中的点集，则\(x\in \overline{Y}\)的充要条件是\(d(x,Y)=0\).

取\(\varepsilon =\min(a-d(x_0,y),d(x_0,y))\), 则\(\varepsilon>0\), 且\(B(y,\varepsilon)\subset B(x_0,a)\), 而\(x_0\neq B(y,\varepsilon)\). 由于\(y\in Y'\), 在\(B(y,\varepsilon)\)中必有\(x\in Y\). 所以\(x\in B(x_0,a)\), 但\(x_0\neq x\), 因此\((B(x_0,a)-\{x_0\})\cap Y'\neq \varnothing\). 所以\(x_0\)是\(Y\)的聚点, \(x_0\in Y'\), 从而\(Y'\)是闭集. \(\blacksquare\)
证明： 如果\(x\in \overline{Y}\), 则必然存在\(\{x_n\}\subset Y\), 使得\(d(x_n,x)\to 0\). 由于\(d(x,Y)\leq d(x,x_n)\)得到\(d(x,Y)=0\). 反之，如果\(d(x,Y)=0\), 存在\(\{x_n\}\subset Y\), 使得\(d(x_n,x)\to d(x,Y)=0\), 从而\(x_n\to x\), 所以\(x\in \overline{Y}\). \(\blacksquare\)

1.4 常见度量空间

下面我们探讨一些常见并常用的度量空间.

\(\mathbb{R}^n\)空间

设\(X=\mathbb{R}^n\), 为\(n\)维的欧几里得空间. 取其中的点\(x=(x_1,\cdots,x_n)\), \(y=(y_1,\cdots,y_n)\), 以此分别定义距离：

\[\begin{aligned} & d_1(x, y):=\sum_{k=1}^n|x_k-y_k|;\\ & d_2(x, y):=\left(\sum_{k=1}^n|x_k-y_k|^2\right)^\frac{1}{2};\\ & d_\infty(x, y):= \max_k|x_k-y_k|. \end{aligned}\\ \]

分别形成度量空间\((\mathbb{R}^n,d_1)\), \((\mathbb{R}^n,d_2)\), \((\mathbb{R}^n,d_\infty)\).

考察\(\mathbb{R}^n\)中的点列\(x_k=(x_1^{(k)},\cdots,x_n^{(k)})\), \(k=1,2,\cdots\). 取距离\(d_2(x,y)\), 则

\[d_2(x_k,x)=\left(\sum_{i=1}^n|x_i^{(k)}-x_i|^2\right)^\frac{1}{2}\to0(k\to +\infty),\\ \]

当且仅当\(x_i^{(k)}\to x_i(k\to+\infty)\), \(i=1,2,\cdots,n\). 即\((\mathbb{R}^n,d_2)\)中点列的收敛等价于按坐标收敛.

再次考察\(\mathbb{R}\), 设\(x,y\in\mathbb{R}\), 定义距离

\[\rho(x,y) = \frac{|x-y|}{1+|x-y|},\\ \]

则\((\mathbb{R},\rho)\)为度量空间. 在该距离下\(|x_n - x|\to0\)等价于\(\rho(x_n,x)\to 0\).

\(C([a,b])\)空间, \(C^k([a,b])\)空间

有限闭区间\([a,b]\)上的全体连续函数构成的空间记为\(C([a,b])\). 设\(f,g\in C([a,b])\), 在\(C([a,b])\)上引入以下距离：

\[\begin{aligned} & d_1(f, g) := \int_a^b|f(t)-g(t)|\mathrm{d}t;\\ & d_p(f, g) := \left(\int_a^b|f(t)-g(t)|^p\mathrm{d}t\right)^\frac{1}{p};\\ & d_\infty(f, g) := \max_{t\in[a, b]}|f(t)-g(t)|. \end{aligned}\\ \]

分别形成度量空间\((C([a,b]),d_1)\), \((C([a,b]),d_p)\), \((C([a,b]),d_\infty)\).

考察\(C([a,b])\)中的函数列\(\{f_n\}\), \(f\in C([a,b])\), 在给定距离\(d_\infty(f,g)\)下, \(f_n\to f(n\to+\infty)\)当且仅当\(d_\infty(f_n,f)\to0(n\to+\infty)\), 当且仅当对于任意给定的\(\varepsilon>0\), 存在自然数\(N\), 当\(n>N\)时始终有\(d_\infty(f_n,f)<\varepsilon\). 但是

\[d_\infty(f_n, f)= \max_{t\in[a,b]}|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad |f_n(t)-f(t)|<\varepsilon,\quad \forall t\in[a,b],\\ \]

因此\(f_n\to f(n\to+\infty)\)当且仅当函数列\(\{f_n\}\)一致收敛于\(f\).

反例： 考察\(C([-1,1])\)中的函数列

\[f_n(t)=\left\{\begin{aligned} & 0,\quad -1\leq t <-1/n,\\ & nt + 1, \quad -1/n\leq t <0,\\ & -nt + 1, \quad 0\leq t < 1/n,\\ & 0, \quad 1/n\leq t\leq 1. \end{aligned}\right.\\ \]

由于

\[d_1(f_n,0)=\int_{-1}^1 f_n(t)\mathrm{d}t =\frac{1}{n} \to 0 , \quad n\to\infty,\\ \]

所以在度量空间\((C([a,b]),d_1)\)中\(f_n\to0\). 但是\(d_\infty (f_n,0)=1\), \(\forall n=1,2,\cdots\),所以在度量空间\((C([a,b]),d_\infty)\)中\(f_n\nrightarrow0\).
此例子表明同一函数在不同的度量空间中收敛性可能不相同.

类似的，对于有界联通开区域\(\Omega\subset \mathbb{R}^n\), 设\(\overline{\Omega}\)为\(\Omega\)的闭包，\(C(\overline{\Omega})\)表示\(\overline{\Omega}\)上全体连续函数构成的集合，引入以下距离：

\[\begin{aligned} & d_1(f, g) := \int_{\overline{\Omega}}|f(t)-g(t)|\mathrm{d}\Omega;\\ & d_p(f, g) := \left(\int_{\overline{\Omega}}|f(t)-g(t)|^p\mathrm{d}\Omega\right)^\frac{1}{p};\\ & d_\infty(f, g) := \sup_{t\in\overline{\Omega}}|f(t)-g(t)|. \end{aligned}\\ \]

其中\(\mathrm{d}\Omega=\mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2\cdots\mathrm{d}t_n\), \(t=(t_1,t_2,\cdots,t_n)\). 分别形成度量空间\((C(\overline{\Omega}),d_1)\), \((C(\overline{\Omega}),d_p)\), \((C(\overline{\Omega}),d_\infty)\).

有限闭区间\([a,b]\)上的具有直到\(k(k\geq1)\)阶连续导函数的函数全体构成的空间记为\(C^k([a,b])\). 设\(f,g\in C^K([a,b])\), 在\(C^k([a,b])\)上引入以下距离：

\[\begin{aligned} & d(f,g) := \sum_{i=0}^k \max_{t\in [a,b]}|f^{(i)}(t) - g^{(i)}(t)|,\\ & \rho(f,g) := \max_{0\leq i\leq k}\max_{t\in [a,b]}|f^{(i)}(t) - g^{(i)}(t)|. \end{aligned}\\ \]

则分别形成度量空间\((C^k([a,b]),d)\), \((C^k([a,b]),\rho)\). 在\(C^k([a,b])\)中函数列\(\{f_n(t)\}\)依距离收敛于\(f(t)\)等价于\(\{f_n(t)\}\)及它们的前\(k\)阶导函数列在\([a,b]\)上都分别一致收敛于\(f(t)\)及前\(k\)阶导函数.

同样，使用\(C^k(\overline{\Omega})\)表示\(\overline{\Omega}\)上全体具有直到\(k(k\geq1)\)阶连续导函数的函数构成的集合, 引入以下距离：

\[\begin{aligned} & d(f,g) := \sum_{0\leq |\alpha|\leq k}\max_{t\in \overline{\Omega}}|D^\alpha(f-g)(t)|,\\ & \rho(f,g) := \max_{0\leq |\alpha|\leq k}\max_{t\in [a,b]}|D^\alpha(f-g)(t)|. \end{aligned}\\ \]

其中

\[\begin{aligned} & (D^\alpha f)(t) = \frac{\partial^{|\alpha|}f(t_1,t_2,\cdots,t_n)}{\partial t_1^{\alpha_1}\partial t_2^{\alpha_2}\cdots \partial t_n^{\alpha_n}},\quad D^0f(t) = f(t),\\ &D = (D_1, D_2, \cdots, D_n),\quad D_j=\frac{\partial}{\partial t_j},\quad j=1,2,\cdots,n. \end{aligned}\\ \]

多重指标\(\alpha\)是由非负整数作为分量构成的向量. 即

\[\alpha = (\alpha_12,\alpha_2,\cdots,\alpha_n),\quad |\alpha| = \sum_{i=1}^n \alpha_i,\quad \alpha_i\geq0.\\ \]

分别形成度量空间\((C^k(\overline{\Omega}),d)\), \((C^k(\overline{\Omega}),\rho)\).

有限闭区间\([a,b]\)上的无限次可微分函数全体构成的空间记为\(C^\infty([a,b])\). 引入距离

\[d(f,g) := \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{2^j}\max_{t\in[a,b]}\frac{|f^{(j)}(t)-g^{(j)}(t)|}{1+|f^{(j)}(t)-g^{(j)}(t)|},\\ \]

形成度量空间\((C^\infty([a,b]),d)\). \((C^\infty([a,b]),d)\)中函数列\(\{f_n(t)\}\)依距离收敛于\(f(t)\)等价于对于每个整数\(p\geq 0\), 在\([a,b]\)上\(\{f^{(p)}_n(t)\}\)一致收敛于\(f^{(p)}(t)\).

\(L^p\)空间

设\((X,\mathscr{B},\mu)\)是一个测度空间，\(E\subset X\), \(\mu(E)<\infty\), \(f\)是\(E\)上的函数. 给定\(p\geq 1\), 使得\(f\)是\(E\)上的可测函数，且\(|f|^p\)在\(E\)上可积，同时如果\(f\)和\(g\)几乎处处相等，则将二者视为同一个函数. 将这种\(p\)方可积函数\(f\)的全体记为\(L^p(E)\), 称为\(E\)上关于Lebesgue测度的\(p\)方可积函数空间. 如果\(E\)是实直线上的区间\([a,b]\), 则记为\(L^p([a,b])\).
引入距离:

\[\begin{aligned} & d(f,g) := \left(\int_E|f(t)-g(t)|^p\mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{p},\\ & \rho(f,g) := \int_E\frac{|f(t)-g(t)|}{1+|f(t)-g(t)|}\mathrm{d}\mu. \end{aligned}\\ \]

则分别形成度量空间\((L^p(E),d)\), \((L^p(E),\rho)\).
下面考察\(L^p(E)\)中的函数列\(\{f_n\}\). 首先，对于距离\(\rho\), \(\rho(f_n,f)\to 0\)等价于\(f_n\)依测度\(\mu\)收敛于\(f\). 这是因为，如果\(f_n\)依测度\(\mu\)收敛于\(f\), 由于\(\displaystyle \frac{|f_n(t)-f(t)|}{1+|f_n(t)-f(t)|}\leq 1\), 和\(\mu(E)<\infty\), 根据控制收敛定理可得\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\rho(f_n,f)=0\). 反之，如果\(\rho(f_n,f)\to 0\)，则\(\forall \sigma>0\)

\[\rho(f_n,f)\geq \int_{E(|f_n-f|\geq \sigma)}\frac{|f_n(t)-f(t)|}{1+|f_n(t)-f(t)|}\mathrm{d}\mu\geq \frac{\sigma}{1+\sigma}\mu(E(|f_n-f|\geq \sigma)),\\ \]

令\(n\to\infty\), 则可得\(f_n\)依测度\(\mu\)收敛于\(f\).

对于距离\(d\), 如果\(d(f_n,f)\to 0(n\to\infty)\), 此时称这种收敛为\(p\)次方平均收敛, 即\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\int_E|f_n(t)-f(t)|^p\mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{p}=0\). 由于对于任何\(\sigma>0\)，

\[\int_E|f_n(t)-f(t)|^p\mathrm{d}\mu\geq \int_{E(|f_n-f|\geq \sigma)}|f_n(t)-f(t)|^p\mathrm{d}\mu\geq \sigma^p\mu(E(|f_n-f|\geq \sigma)),\\ \]

从而得到：如果函数列\(\{f_n\}\)\(p\)次方平均收敛到\(f\), 则\(\{f_n\}\)在\(E\)上依测度\(\mu\)收敛到\(f\)，从而存在\(\{f_n\}\)的子列\(\{f_{n_k}\}\)使得其几乎处处收敛于\(f\). 但反之不成立.

反例： 考察\([0,1]\)上的函数列\(\{f_n(x)\}\):

\[f_n(t)=\left\{\begin{aligned} & 0,\quad x=0,\\ & e^n \quad 0<x<1/n,\\ & 0, \quad 1/n\leq x\leq 1. \end{aligned}\right.\\ \]

显然，\(\{f_n(x)\}\)在\([0,1]\)上几乎处处收敛于\(0\). 但是当\(n\to\infty\)时，对于任何正数\(p\)

\[\int_0^1|f_n(x)-0|^p\mathrm{d}x = \int^{\frac{1}{n}}_0 e^{pn}\mathrm{d}x =\frac{1}{n}e^{pn}\to\infty,\quad n\to\infty.\\ \]

所以\(\{f_n\}\)无法\(p\)次方平均收敛到\(f\).

设\(E\)是\((X,\mathscr{B},\mu)\)上的一个可测集，\(f\)是\(E\)上的可测函数. 如果存在\(E\)中关于\(\mu\)的零测集\(E_0\), 使得\(f\)在\(E-E_0\)上有界. 则这样的\(f\)被称为本性有界可测函数. \(E\)上本性有界可测函数的全体记作空间\(L^\infty(E)\). 引入以下距离

\[d(f,g) = \inf_{\mu(E_0)=0, E_0\subset E}\left(\sup_{E-E_0}|f(x)-g(x)|\right),\\ \]

形成度量空间\((L^\infty(E),d)\). 对于这个距离，其中的下确界是对\(E\)中所有使得\(f(x)\)在\(E-E_0\)上称为有界函数的零测集\(E_0\)取的，且这个下确界是可达到的. 一般的，称以上距离中的映射关系：

\[\mathrm{ess}\sup_{x\in E}|f(x)| := \inf_{\mu(E_0)=0, E_0\subset E}\left(\sup_{E-E_0}|f(x)|\right).\\ \]

为\(f\)的本性上确界. 此时考察\(L^\infty(E)\)中的函数列\(\{f_n\}\)，假设\(d(f_n,f)\to 0\), 则存在零测集列\(\{F_n\}\)，使得\(\mu(F_n)=0\), \(F_n\subset E\), 从而

\[d(f_n,f)=\sup_{E-F_n}|f_n(x)-f(x)|\to 0.\\ \]

取\(\displaystyle F_0=\bigcup_{n=1}^\infty\), 则\(F_0\)是零测集，所以

\[\sup_{E-F_0}|f_n(x)-f(x)|\to 0.\\ \]

这说明，度量空间\((L^\infty(E),d)\)中\(\{f_n\}\)按距离收敛于\(f\)等于\(\{f_n\}\)在\(E\)上除去一个零集\(F_0\)一致收敛于\(f\)，这种收敛被称为几乎一致收敛.

\(l^p\)空间

记满足\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty|x_k|^p<\infty(p\geq1)\)的数列\(\{x_k\}\)的全体为\(l^p\), 这样的数列组成的空间被称为数列空间. 设\(x=(x_1,\cdots,x_n,\cdots)\), \(y=(y_1,\cdots,y_n,\cdots)\in l^p\), 在\(l^p\)上引入距离

\[d(x,y) := \left(\sum_{k=1}^\infty|x_k-y_k|^p\right)^\frac{1}{p},\\ \]

则\((l^p,d)\)是度量空间, \((p\geq1)\).

如果点列\(x=(x_1,\cdots,x_n,\cdots)\)是有界点列，则记这样的点列全体所成的空间为\(l^\infty\). 在\(l^\infty\)上引入距离

\[d_\infty(x,y) := \sup_{k}|x_k-y_k|,\\ \]

则\((l^\infty,d_\infty)\)是度量空间.

现在考察\(l^p\)空间中的点列\(\{x_n\}\). 记\(x_n=(x_1^{(n)},\cdots,x_n^{(n)},\cdots)\), 如果\(x_n\to x\), 即

\[d(x_n,x)=\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k^{(n)}-x_k|^p\right)^\frac{1}{p}\to 0,\\ \]

此时必定有\(x_k^{(n)}\to x_k\), \(k=1,2,\cdots\). 但反之，取

\[x_n = (\underbrace{(1/n)^{1/p},\cdots,(1/n)^{1/p}}_{n\text{个}},0,0,\cdots), x=(0,0,\cdots),\\ \]

而且\(x_k^{(n)}\to x_k=0\), 但是

\[d(x_n,x)=\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k^{(n)}|^p\right)^\frac{1}{p} = \left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\right)^\frac{1}{p} = 1 \nrightarrow 0.\\ \]

这表明：\(l^p\)中点列的收敛不等价于按坐标收敛.
通常情况下，在\(l^p\)中\(x_n\to x\)当且仅当
(i). 对于任意\(k\), \(x_k^{(n)}\to x_k\),
(ii). 对于任意给定的\(\varepsilon>0\), 始终存在自然数\(N\)，当\(k>N\)时，对于任意的自然数\(n\)有

\[\left(\sum_{i=1}^\infty|x_i^{(n)}|^p\right)^\frac{1}{p}<\varepsilon.\\ \]

以上的度量空间具有如下关系：设\(1<p<q<+\infty\), \([a,b]\)维有界闭区间，则

\[\begin{aligned} &l^p \subset l^q\\ &C^\infty([a,b]) \subset \cdots \subset C^k([a,b]) \subset C^{k-1}([a,b]) \subset \cdots \subset C([a,b]) \subset L^\infty([a,b]) \\ &\subset \cdots \subset L^k([a,b]) \subset L^{k-1}([a,b]) \subset \cdots \subset L^1([a,b]). \end{aligned}\\ \]