题意：你的英雄一开始血量为p，你还有m个队友，血量无穷。血量上限为n，下限为0。如果血量满了就不能加血。每次启动操作，随机给m+1个英雄加1点血，然后等概率随机k次每次对于英雄扣1点血。求期望操作几次你的英雄没血？
n,m,p<=1500.
标程：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int mod=1e9+7; 5 const int N=1505; 6 int n,p,m,k,f[N],inv[N],g[N][N],ans[N]; 7 int ksm(int x,int y) 8 { 9 int res=1; 10 while (y) {if (y&1) res=(ll)res*x%mod; y>>=1;x=(ll)x*x%mod;} 11 return res; 12 } 13 int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);} 14 void gauss() 15 { 16 for (int i=n;i>=2;i--) 17 { 18 if (g[i][i]==0&&g[i-1][i]==0) {puts("-1");return;} 19 if (g[i][i]==0) 20 { 21 for (int j=1;j<=i;j++) swap(g[i][j],g[i-1][j]); 22 swap(g[i][n+1],g[i-1][n+1]); 23 } 24 else 25 { 26 if (!g[i-1][i]) continue; 27 int v=(ll)g[i-1][i]*Inv(g[i][i])%mod; 28 for (int j=1;j<=i;j++) 29 g[i-1][j]=((ll)g[i-1][j]-(ll)g[i][j]*v%mod+mod)%mod; 30 g[i-1][n+1]=((ll)g[i-1][n+1]-(ll)g[i][n+1]*v%mod+mod)%mod; 31 } 32 } 33 for (int i=1;i<=p;i++) 34 { 35 ans[i]=g[i][n+1]; 36 for (int j=1;j<i;j++) 37 ans[i]=((ll)ans[i]-(ll)ans[j]*g[i][j]%mod+mod)%mod; 38 ans[i]=(ll)ans[i]*Inv(g[i][i])%mod; 39 if (!ans[i]) {puts("-1");return;} 40 } 41 printf("%d\n",ans[p]); 42 } 43 void init() 44 { 45 memset(g,0,sizeof(g)); 46 int tmp=1,c=1,in,inn;in=inn=Inv(m+1); 47 for (int i=1;i<=min(n,k);i++) 48 { 49 c=(ll)c*(k-i+1)%mod*inv[i]%mod; 50 tmp=(ll)tmp*in%mod; 51 f[i]=(ll)c*tmp%mod; 52 } 53 in=(ll)m*in%mod;tmp=ksm(in,k-min(n,k)); 54 f[0]=1; 55 for (int i=min(n,k);i>=0;i--) 56 f[i]=(ll)f[i]*tmp%mod,tmp=(ll)tmp*in%mod; 57 58 for (int i=1;i<=n;i++) 59 { 60 if (i==n) in=1,inn=0; 61 for (int j=max(i-k,0);j<=i;j++) 62 { 63 g[i][j]=((ll)g[i][j]+(ll)f[i-j]*in%mod)%mod; 64 if (j+1<=n) g[i][j+1]=(ll)f[i-j]*inn%mod; 65 } 66 g[i][i]=((ll)g[i][i]-1+mod)%mod;g[i][n+1]=mod-1; 67 } 68 } 69 int main() 70 { 71 int T;scanf("%d",&T); 72 inv[0]=inv[1]=1; for (int i=2;i<=1500;i++) inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; 73 while (T--) { 74 scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&m,&k); 75 init();gauss(); 76 } 77 return 0; 78 }
易错点:1.注意对无解的特判，如果有概率为0就是-1。
题解：dp+高斯消元
一般dp式子：dp[i]表示还剩下i滴血直到英雄死去的期望操作次数。分自己的英雄是否加血讨论。f[i]表示血量减少i的概率，可以预处理。
$dp[i]=(\sum_{j=i-k}^{i}dp[j]*f[i-j]*m/(m+1)+\sum_{j=i-k+1}^{i+1}dp[j]*f[i+1-j]*1/(m+1))+1$。
但是由于有dp[i+1]，难以递推。考虑设未知数进行高斯消元。高斯消元不是n^3*logn的吗？
由于这个矩阵写出来是阶梯状往右，第i行的最右边元素只到i+1，所以只用下面一行来减去它，化成右下三角矩阵求即可。时间复杂度O(n^2(*logn))。
或者直接用前n-1个式子写出dp[i]=Ax+B的表达式，然后再全部代入最后一个dp[n]=....的式子中，解Ax+B=A'x+B'即可。
