A*启发式搜索基础

传统的搜索方式是盲目搜索，即到每一步的时候并没有对每种情况进行有效的区分，这样的结果是浪费了大量的时间，对很多没有必要的数据进行了搜索。
而A*算法则在搜索的过程中会选取认为“最优”的状态进行搜索，而这正是这种算法的精华部分。

其实我们可以将他和Dijkstra进行一定的对比，他们的共同点很多，都是每次选取最优的点开始搜索，但是他们的“最优”策略不同也就决定了不同的效率。

  • Dijkstra是每次选取距离“出发点”最近的点开始搜索
  • A*算法则是选取距离“目标点”估计值最小的点开始搜索

注意这里的估计值就是A*算法的核心部分了，本博文最后会介绍和Dijkstra的具体效率的区别。

A*算法将点到重点的距离分为两个部分：

F(n)=G(n)+H(n)

介绍：

  • F(n)表示起点到目标的估计距离
  • G(n)表示起点到n点的准确距离
  • H(n)表示n点到目标点的估计距离

我们先假设从n点到目标点的准确距离为H′(n)，当然H′(n)的准确值我们并不知道，否则我们就不用费力气去求了。
这里H(n)需要满足的条件是

  • H(n)<=H′(n)

需要说明的是，我们A*搜索的核心就是H(n)的构建，最后构建的好坏直接决定了我们搜索的效率，我们的好是指：H(n)越贴近H′(n)越好，但是注意一定不能超过实际H′(n)的值。

为了和大多数的讲解名字对应，本博文采用相同名字，即名openlist的优先队列来存放需要搜索的内容，具体搜索步骤如下

  • 预定义H(n)=|beginx−endx|+|beginy−endy|
  • 预定义F(n)=G(n)+H(n)

  • openlist中F(n)值小的优先级别高

    1. 将起点加入openlist中
    2. 从队列中弹出元素
    3. 对弹出元素的周边进行搜索，如果发现有未被搜索到的位置，并且不是墙，河水，峡谷等不能行走的位置，则将其加入到队列中，并将其指向弹出元素。
      如果发现有已经被搜索过的位置，则查看其F(n)值是否比现在走到那个位置的F(n)值小，若现在是更优解，则更新其F(n)值。如果其不在队列中则把其重新加入队列，否则什么也不用做。
    4. 重复2-4步，直到找到目标点
    5. 最小路径即目标点的F(n)的值，同时根据维护的指针就可把最优路径推出来

补充：

我们从F(n)=G(n)+H(n)中可以推导出

  • 当G(n)=0时，算法相当与bfs；
  • 当H(n)=0时，算法相当于dfs；

自己写了一个示例代码如下：

@Frosero
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;


char mps[12][21] = {                              //x*
                    {"...................."},     //0
                    {"...S................"},     //1
                    {"...................."},     //2
                    {"...................."},     //3
                    {"....##########......"},     //4
                    {"...................."},     //5
                    {"...................."},     //6
                    {"...................."},     //7
                    {".............#......"},     //8
                    {".............#..P..."},     //9
                    {".............#......"},     //10
                    {"...................."},     //11
};              //原地图

const int beginx = 1,beginy = 3,endx = 9,endy = 16;
int link[12][21] = {0};           //1-up 2-right 3-down 4-left
int dx[] = {1,-1,0,0},dy[] = {0,0,1,-1},f[12][21]; //f用于储存F值

bool can_move(int x,int y){
    return x >= 0 && x < 12 && y >= 0 && y < 20 && mps[x][y] != '#';
}

class Node{
public:
    int x,y;
    int f,g,h;
    Node() = default;
    Node(int X,int Y,int G):x(X),y(Y),g(G) {
        this->h = abs(x - endx) + abs(y - endy) ; //计算H(n)
        this->f = this->g + this->h;
    }
    bool operator < (const Node &rhs) const {
        return this->f > rhs.f;
    }
};

void A_bfs(){
    for(int i=0;i<12;i++) for(int j=0;j<21;j++) f[i][j] = INF;
    priority_queue<Node> openlist;
    while(!openlist.empty()) openlist.pop();
    openlist.push(Node(beginx,beginy,0));
    f[beginx][beginy] = abs(beginx - endx) + abs(beginy - endy) ;
    while(!openlist.empty()){
        Node now = openlist.top(); openlist.pop();
        if(now.x == endx && now.y == endy) break;
        if(now.f > f[now.x][now.y]) continue;  //如果发现刚才记录的F值比现在实际F值小
                                            //说明该点已经被更新过，忽略即可
        for(int i=0;i<4;i++){
            int nx = now.x + dx[i];
            int ny = now.y + dy[i];
            if(can_move(nx,ny) && now.g + 1 + abs(nx - endx) + abs(ny - endy) < f[nx][ny]){
                mps[nx][ny] = mps[nx][ny] == 'P' ? 'P' : '*' ;
                f[nx][ny] = now.g + 1 + abs(nx - endx) + abs(ny - endy) ;
                if(nx == now.x + 1) link[nx][ny] = 1;
                else if(nx == now.x - 1) link[nx][ny] = 3;
                else if(ny == now.y + 1) link[nx][ny] = 4;
                else if(ny == now.y - 1) link[nx][ny] = 2;   //标记指针数组
                openlist.push(Node(nx,ny,now.g + 1));
            }
        }
    }
}


int main(){
    A_bfs();
    int x = endx,y = endy;
    while(1){
        if(link[x][y] == 1) x--;
        else if(link[x][y] == 2) y++;
        else if(link[x][y] == 3) x++;
        else if(link[x][y] == 4) y--;
        if(x == beginx && y == beginy) break;
        mps[x][y] = '+';
    }

    printf("ans is : %d\n",f[endx][endy]);
    for(int i=0;i<12;i++,printf("\n")){
        for(int j=0;j<20;j++) printf("%c",mps[i][j]);
    }

    return 0;
}

/*

输出：

ans is : 21
...*****............
..*S************....
..*+*************...
..*+************....
..*+##########***...
..*+++++++++++++**..
..*************+**..
...************+**..
....*********#*+**..
.....********#*+P...
......*.*...*#.*....
....................


符号解释
S:起点
P:目标点
*:搜索过的路径
+:搜索过的最优路径
#:墙

Process returned 0 (0x0)   execution time : 0.362 s
Press any key to continue.



*/

作为比较，我们用Dijkstra再做一次结果：

@Frosero
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;


char mps[12][21] = {                              //x*
                    {"...................."},     //0
                    {"...S................"},     //1
                    {"...................."},     //2
                    {"...................."},     //3
                    {"....##########......"},     //4
                    {"...................."},     //5
                    {"...................."},     //6
                    {"...................."},     //7
                    {".............#......"},     //8
                    {".............#..P..."},     //9
                    {".............#......"},     //10
                    {"...................."},     //11
};

const int beginx = 1,beginy = 3,endx = 9,endy = 16;
int link[12][21] = {0};           //1-up 2-right 3-down 4-left
int dx[] = {1,-1,0,0},dy[] = {0,0,1,-1},f[12][21];

bool can_move(int x,int y){
    return x >= 0 && x < 12 && y >= 0 && y < 20 && mps[x][y] != '#';
}

class Node{
public:
    int x,y;
    int g;
    Node() = default;
    Node(int X,int Y,int G):x(X),y(Y),g(G) { }
    bool operator < (const Node &rhs) const {
        return this->g > rhs.g;
    }
};

void A_bfs(){
    for(int i=0;i<12;i++) for(int j=0;j<21;j++) f[i][j] = INF;
    priority_queue<Node> openlist;
    while(!openlist.empty()) openlist.pop();
    openlist.push(Node(beginx,beginy,0));
    f[beginx][beginy] = 0 ;
    while(!openlist.empty()){
        Node now = openlist.top(); openlist.pop();
        if(now.x == endx && now.y == endy) break;
        for(int i=0;i<4;i++){
            int nx = now.x + dx[i];
            int ny = now.y + dy[i];
            if(can_move(nx,ny) && now.g + 1 < f[nx][ny]){
                mps[nx][ny] = mps[nx][ny] == 'P' ? 'P' : '*' ;
                f[nx][ny] = now.g + 1;
                if(nx == now.x + 1) link[nx][ny] = 1;
                else if(nx == now.x - 1) link[nx][ny] = 3;
                else if(ny == now.y + 1) link[nx][ny] = 4;
                else if(ny == now.y - 1) link[nx][ny] = 2;
                openlist.push(Node(nx,ny,now.g + 1));
            }
        }
    }
}


int main(){
    A_bfs();
    int x = endx,y = endy;
    while(1){
        if(link[x][y] == 1) x--;
        else if(link[x][y] == 2) y++;
        else if(link[x][y] == 3) x++;
        else if(link[x][y] == 4) y--;
        if(x == beginx && y == beginy) break;
        mps[x][y] = '+';
    }

    printf("ans is : %d\n",f[endx][endy]);
    for(int i=0;i<12;i++,printf("\n")){
        for(int j=0;j<20;j++) printf("%c",mps[i][j]);
    }

    return 0;
}

/*

输出：

ans is : 21
********************
***S++++++++++******
*************+******
*************++*****
****##########+*****
**************+*****
**************+*****
**************+*****
*************#+****.
*************#++P...
*************#**....
***************.....

符号解释
S:起点
P:目标点
*:搜索过的路径
+:搜索过的最优路径
#:墙

Process returned 0 (0x0)   execution time : 0.362 s
Press any key to continue.

*/

通过比较我们可以很轻松的发现A*搜索相比于Dijkstra的优越性

下面是在网上找的几组图片来进行一些对比
图片来源：[http://blog.csdn.net/luckyxiaoqiang/article/details/6996963]

例一

1. A*（曼哈顿距离）
这里写图片描述
2. A*（欧氏距离）
这里写图片描述
3. A*（切比雪夫距离）
这里写图片描述
4. Dijkstra
这里写图片描述
5. 双向BFS
这里写图片描述

例二

1. A*（曼哈顿距离）
这里写图片描述
2. A*（欧氏距离）
这里写图片描述
3. A*（切比雪夫距离）
这里写图片描述
4. Dijkstra
这里写图片描述
5. 双向BFS
这里写图片描述

例三

1. A*（曼哈顿距离）
这里写图片描述
2. A*（欧氏距离）
这里写图片描述
3. A*（切比雪夫距离）
这里写图片描述
4. Dijkstra
这里写图片描述
5. 双向BFS
这里写图片描述

例四

1. A*（曼哈顿距离）
这里写图片描述
2. A*（欧氏距离）
这里写图片描述
3. A*（切比雪夫距离）
这里写图片描述
4. Dijkstra
这里写图片描述
5. 双向BFS
这里写图片描述