測度與概率（一）

\(\newcommand{\dd}{\mathrm d}\)
\(\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial#2}}\)
\(\newcommand{\odv}[2]{\frac{\dd{#1}}{\dd#2}}\)
\(\newcommand{\chap}{§}\)

\(\newcommand{\thm}{\textbf{定理：}}\)
\(\newcommand{\prop}{\textbf{命題：}}\)
\(\newcommand{\lm}{\textbf{引理：}}\)
\(\newcommand{\def}{\textbf{定義：}}\)
\(\newcommand{\rmk}{\textbf{注釋：}}\)
\(\newcommand{\eg}{\textbf{例子：}}\)

讀書筆記《測度與概率》

$\chap1\ $ 概率空間

$\chap1.1\ $集類

\(\def\)設\(\Omega\ne\varnothing\)，\(\mathscr S\subseteq\mathscr P(\Omega)\)稱爲\(\Omega\)的一個半集代數，若：

1. \(\Omega,\varnothing\in\mathscr S\)；
2. 若\(A,B\in\mathscr S\)，則\(A\cap B\in\mathscr S\)；
3. 若\(A,A_1\in\mathscr S\)且\(A_1\subseteq A\)，則存在\(A_2,\cdots,A_n\in\mathscr S\)滿足\(A_1,\cdots,A_n\)互不相交，且$$A=\bigcup_{k=1}^nA_k$$

\(\rmk\)容易驗證，第三條可以換爲：

4. 若\(A\in\mathscr S\)，則存在\(A_1,\cdots,A_n\in\mathscr S\)滿足$$A^c =\bigcup_{k=1}^nA_k$$

\(\def\)稱\(\mathscr{A\subseteq P}(\Omega)\)為一個集代數（或稱布爾代數），若：

1. \(\Omega\in\mathscr A\)；
2. 若\(A,B\in\mathscr A\)，則\(A\cap B\in\mathscr A\)；
3. 若\(A\in\mathscr A\)，則\(A^c\in\mathscr A\)。

\(\lm\)設\(\mathscr S\)是\(\Omega\)的半集代數，則
\(\begin{align*}\mathscr A&\triangleq\{\bigcup\limits_{k=1}^nA_k|A_1,\cdots,A_n\in\mathscr S\text{兩兩不交}\}\\&=\{\bigcup\limits_{k=1}^nA_k|A_1,\cdots,A_n\in\mathscr S\}\end{align*}\)
是包含\(\mathscr S\)的最小集代數，記爲\(\mathscr A(\mathscr S)\)。

\(\def\)稱\(\mathscr{F\subseteq P}(\Omega)\)是\(\sigma\)-代數，若：

1. \(\Omega\in\mathscr F\)；
2. \(A\in\mathscr F\Longrightarrow A^c\in\mathscr F\)；
3. 若\(A_n\in\mathscr F(\forall n\in\mathbb N_+)\)，則$$\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathscr F$$

\(\lm\)設\(\mathscr F_i(i\in I)\)是一族\(\sigma\)-代數，則$$\bigcap_{i\in I}\mathscr F_i$$仍爲\(\sigma\)-代數。

\(\thm\)設\(\mathscr C\subseteq\mathscr P(\Omega)\)，則存在唯一的一個\(\sigma\)-代數\(\sigma(\mathscr C)\)包含\(\mathscr C\)，且被所有包含\(\mathscr C\)的\(\sigma-\)代數包含。其稱爲由\(\mathscr C\)生成的\(\sigma-\)代數。

\(\blacktriangleleft\)其實，取$$\sigma(\mathscr C)=\bigcap_{\substack{\mathscr F\text{為}\sigma\text{代數}\\ \mathscr F\supseteq \mathscr C}}\mathscr F$$即可。

\(\blacktriangleright\)

\(\eg\)
\(\begin{align*}\mathscr B^d&\triangleq\sigma\left(\{(a_1,b_1]\times\cdots\times(a_d,b_d]\}\right)\\&=\sigma(\mathscr O)\subseteq \mathbb R^d\end{align*}\)
稱爲\(\mathbb R^d\)上的波萊爾集，其中\(\mathscr O\)是全體開集。後一種定義可以推廣到一般的度量空間。

\(\def\)

• \(\Omega\)的子集類\(\Pi\)稱爲\(\pi\)系，若$$(A,B\in\Pi)\Longrightarrow (A\cap B\in\Pi)$$
• \(\Omega\)的子集類\(\Lambda\)稱爲\(\lambda\)系（亦稱Dynkin系），若：

1. \(\Omega\in\Lambda\)；
2. （對真差封閉）若\(A\subseteq B\)且\(A,B\in\Lambda\)，則\(A\backslash B\in\Lambda\)；
3. （單調性）

\[\left(\{A_n|n\in\mathbb N_+\}\subseteq \Lambda,A_n\subseteq A_{n+1}(\forall n\in\mathbb N_+)\right) \Longrightarrow\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\Lambda\right) \]

\(\lm\)若\(\mathscr C\)既是\(\lambda\)系也是\(\pi\)系，則\(\mathscr C\)是\(\sigma-\)代數。

\(\blacktriangleleft\)
其實，由\(\lambda\)系定義的第一二條可知對任意\(A\in\mathscr C\)有\(A^c=\Omega\backslash A\in\mathscr C\)，因此只需驗證\(\mathscr C\)對可數並封閉。

對\(\{A_1,A_2,\cdots\}\subseteq \mathscr C\)，令$$B_n=\bigcup_{k=1}^nA_k(n\in\mathbb N_+)$$則\(B_1\subseteq B_2\subseteq\cdots\)，且$$\bigcup_{k=1}^\infty A_k=\bigcup_{k=1}^\infty B_k$$
故由\(\lambda\)系的單調性即可知$$\bigcup_{k=1}^\infty A_k\in\mathscr C$$

$\blacktriangleright$

\(\thm\)（單調類定理）對\(\mathscr C\subseteq \mathscr P(\Omega)\)，設$$\Lambda(\mathscr C)=\bigcap_{\substack{\Lambda\supseteq \mathscr C\\ \Lambda\text{為}\lambda\text{系}}}\Lambda$$為包含\(\mathscr C\)的最小\(\lambda\)系。

現設\(\mathscr C\)是\(\pi\)系，則$$\Lambda(\mathscr C)=\sigma(\mathscr C)$$

\(\blacktriangleleft\)
其實，我們只需證明兩個方向的包含關係。由於\(\sigma-\)代數都是\(\lambda\)系，故$$\Lambda(\mathscr C)\subseteq\sigma(\mathscr C)$$
下證明$$\Lambda(\mathscr C)\supseteq\sigma(\mathscr C)$$而這只需要\(\Lambda(\mathscr C)\)為\(\pi\)系。

對\(A\in\Lambda(\mathscr C)\)，令

\[\mathscr A_A\triangleq \{B\in\Lambda(\mathscr C)|A\cap B\in\Lambda(\mathscr C)\} \]

容易證明\(\mathscr A_A\)為\(\lambda\)系。因此，由\(\Lambda(\mathscr C)\)的最小性，對任意\(A\in\mathscr C\)都有\(\mathscr A_A=\Lambda(\mathscr C)\)。這樣對任意\(A\in\Lambda(\mathscr C)\)都有\(\mathscr C\subseteq \mathscr A_A\)，進而也等於\(\Lambda(\mathscr C)\)。這樣就證明了\(\Lambda(\mathscr C)\)為\(\pi\)系。

$\blacktriangleright$