高等数学预习-中值定理

高等数学预习-中值定理

费马引理

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某邻域 \(U(x_{0})\) 内有定义，且在 \(x_{0}\) 处可导。

若对任意 \(x \in U(x_{0})\)，都有 \(f(x) \le f(x_{0})\)（或都有 \(f(x) \ge f(x_{0})\)），则 \(f^{'}(x_{0}) = 0\)。

证明：

设 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处极大，则不论 \(\Delta{x}\) 正负，总有

\[f(x_{0} + \Delta{x}) - f(x_{0}) \le 0 \\ \]

当 \(\Delta{x} > 0\) 时，\(\frac{f(x_{0} + \Delta{x}) - f(x_{0})}{\Delta{x}} \le 0\)，则有

\[f^{'}_{+}(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta{x} \to 0^{+}}\frac{f(x_{0} + \Delta{x}) - f(x_{0})}{\Delta{x}} \le 0 \\ \]

当 \(\Delta{x} < 0\) 时，\(\frac{f(x_{0} + \Delta{x}) - f(x_{0})}{\Delta{x}} \ge 0\)，则有

\[f^{'}_{-}(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta{x} \to 0^{-}}\frac{f(x_{0} + \Delta{x}) - f(x_{0})}{\Delta{x}} \ge 0 \\ \]

由上述两式知 \(f^{'}(x_{0}) = 0\)。\(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处极小的情况同理。

罗尔定理

设函数 \(f(x)\) 满足：

• 在闭区间 \([a, b]\) 上连续
• 在开区间 \((a, b)\) 上可导
• \(f(a) = f(b)\)

则至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\)，使得 \(f^{'}(\xi) = 0\)。

证明：

因为 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，所以存在最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)。

• 若 \(M = m\)，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 为常函数，\(f^{'}(x) = 0\)。
• 若 \(M > m\)，由于 \(f(a) = f(b)\)，则最大值 \(M\) 与最小值 \(m\) 至少有一个在 \((a, b)\) 内某点 \(\xi\) 取得，从而 \(\xi\) 是 \(f(x)\) 的极值点，又因为 \(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内可导，所以 \(f(x)\) 在 \(\xi\) 处取得极值，由费马引理知，\(f^{'}(\xi) = 0\)。

拉格朗日中值定理

设函数 \(f(x)\) 满足：

• 在闭区间 \([a, b]\) 上连续
• 在开区间 \((a, b)\) 上可导

则至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\)，使得 \(f^{'}(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)，或写成 \(f(b) - f(a) = f^{'}(\xi)(b - a)\)。

证明：

令 \(g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\)，则 \(g(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续且在开区间 \((a, b)\) 上可导。

又因为 \(g(a) = g(b) = f(a)\)，由罗尔定理可知，至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\) 使得 \(g^{'}(\xi) = 0\) 也即 \(f^{'}(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0\)。证毕。

柯西中值定理

设 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 满足：

• 在闭区间 \([a, b]\) 上连续
• 在开区间 \((a, b)\) 上可导
• \(g^{'}(x) \neq 0\)

则至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\)，使得 \(\frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\)。

对 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 分别使用拉格朗日中值定理的求证方法是错误的，因为二者的中间点 \(\xi\) 并不相同。

柯西中值定理的证明与拉格朗日中值定理的证明相似，都是构造函数并运用罗尔定理。

证明：

由 \(g^{'}(x) \neq 0\) 和罗尔定理易知 \(g(a) \neq g(b)\)。

令 \(h(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}[g(x) - g(a)]\)，则 \(h(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续且在开区间 \((a, b)\) 上可导。

又因为 \(h(a) = h(b) = f(a)\)，由罗尔定理可知，至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\) 使得 \(h^{'}(\xi) = 0\) 也即 \(f^{'}(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g^{'}(\xi) = 0\) 也即 \(\frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\)。证毕。

例题

设 \(0 < a < b\)，函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 上可导，且 \(f(a) = b,f(b) = a\)，证明：\(\exists \xi \in (a, b)\)，使得 \(f^{'}(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi}\)。

令 \(g(x) = xf(x)\)，则 \(g^{'}(x) = xf^{'}(x) + f(x)\)，\(g(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续且在 \((a, b)\) 上可导。

又因为 \(g(a) = g(b) = ab\)，由罗尔定理知，至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\)，使得 \(g^{'}(\xi) = 0\) 也即 \(f^{'}(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi}\)。证毕。

设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 上可导，证明：\(\exists \xi \in (a, b)\)，使得 \(\frac{f(\xi) - f(a)}{b - \xi} = f^{'}(\xi)\)。

令 \(g(x) = (b - x)f(x) + f(a)x\)，则 \(g^{'}(x) = (b - x)f^{'}(x) - f(x) + f(a)\)，\(g(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续且在 \((a, b)\) 上可导。

又因为 \(g(a) = g(b) = bf(a)\)，由罗尔定理知，至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\)，使得 \(g^{'}(\xi) = 0\) 也即 \(\frac{f(\xi) - f(a)}{b - \xi} = f^{'}(\xi)\)。证毕。

求极限 \(\lim\limits_{x \to \infty}x^{2}\left( \tan{\frac{1}{x}} - \tan{\frac{1}{x + 1}} \right)\)。

不妨记函数 \(f(x) = \tan{x}\)。\(f^{'}(x) = \sec^{2}{x}\)。

由拉氏定理知，存在 \(\xi\) 在 \(\frac{1}{x}\) 和 \(\frac{1}{x + 1}\) 之间，使得 \(f(\frac{1}{x}) - f(\frac{1}{x + 1}) = f^{'}(\xi)(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1})\)。

由于 \(x \to \infty\) 时，\(\frac{1}{x} \to 0\)，\(\frac{1}{x + 1} \to 0\)，所以 \(\xi \to 0\)，\(f^{'}(\xi) = \sec^{2}{x} \to 1\)。

所以原式等于 \(\lim\limits_{x \to \infty}x^{2}f^{'}(\xi)(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) = \lim\limits_{x \to \infty}x^{2}\frac{1}{x(x + 1)} = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{x}{x + 1} = 1\)。

证明：当 \(x > 0\) 时，\(\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x\)。

不妨记函数 \(f(x) = \ln{x}\)。\(f^{'}(x) = \frac{1}{x}\)。

由拉氏定理知，存在 \(\xi\) 在 \(1\) 和 \(x + 1\) 之间，使得 \(\ln(x + 1) = f(x + 1) - f(1) = f^{'}(\xi)x\)。

因为 \(\xi \in (1, x + 1)\)，所以 \(f^{'}(\xi) = \frac{1}{\xi} \in (\frac{1}{x + 1}, 1)\)，所以 \(\frac{\ln(x + 1)}{x} = f^{'}(\xi) \in (\frac{1}{x + 1}, 1)\)，也即 \(\ln(x + 1) \in (\frac{x}{x + 1}, x)\)。证毕。

已知 \(f(x)\) 在 \([0, 1]\) 上连续，在 \((0, 1)\) 上可导，且 \(f(0) = 0\)，\(f(1) = 1\)，证明：

1. 存在 \(c \in (0, 1)\)，使得 \(f(c) = 1 - c\)。
2. 存在两个不同的点 \(\xi, \eta \in (0, 1)\)，使得 \(f^{'}(\xi)f^{'}(\eta) = 1\)。

1. 令 \(F(x) = f(x) + x - 1\)，\(F(x)\) 在 \([0, 1]\) 上连续。

   \(F(0) = f(0) + 0 - 1 = -1\)，\(F(1) = f(1) + 1 - 1 = 1\)，\(F(0)F(1) < 0\)。

   由零点存在定理可知，存在 \(c \in (0, 1)\)，使得 \(F(c) = 0\) 也即 \(f(c) = 1 - x\)。证毕。

2. 由拉氏定理知，存在 \(\xi \in (0, c)\)，使得 \(f(c) - f(0) = f^{'}(\xi)c\) 即 \(f^{'}(\xi) = \frac{f(c)}{c} = \frac{1 - c}{c}\)；

   存在 \(\eta \in (c, 1)\)，使得 \(f(1) - f(c) = f^{'}(\eta)(1 - c)\) 即 \(f^{'}(\eta) = \frac{1 - f(c)}{1 - c} = \frac{c}{1 - c}\)。

   所以存在上述 \(\xi \in (0, c), \eta \in (c, 1)\)，使得 \(f^{'}(\xi)f^{'}(\eta) = 1\)。证毕。