[ABC219H] Candles

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洛谷：[ABC219H] Candles

Atcoder：[ABC219H] Candles

Problem

\(N\) 支蜡烛放在无限延伸的数轴上。\(i\) 第一支蜡烛的坐标是 \(x_i\)，在 $0 $ 的时刻，蜡烛的长度是 $a_i $。点燃的蜡烛每 \(1\)，长度就短 \(1\)，当长度为 \(0\) 时，蜡烛就会燃烧殆尽，之后长度不变。另外，被熄灭的蜡烛的长度不变。

高桥君在 \(0\) 时刻坐标 \(0\)，每分钟可以移动不到 \(1\)。高桥君在与自己所在坐标相同的坐标上有蜡烛的情况下，能够将蜡烛的火熄灭。(同一坐标中有多个蜡烛的情况下可以一起吹灭)在这里，熄灭蜡烛所需的时间可以忽略不计。

请求出高桥采取适当行动时，从 \(0\) 到 $ 10^{100}$ 分钟之后剩下的蜡烛长度之和可能的最大值。

$ 1\ \leq\ N\ \leq\ 300 \(，\) -10^{9 \leq X_i \leq 10}9 \(，\) 1\ \leq\ A_i\ \leq\ 10^9 $。

Solution

闲话：可能是 OI 生涯最神圣的一次了，考试的时候想 + 写用了 20min，没写对拍，竟然过了。

不过能做出来还是有一个很大原因的，那就是前一天做了 这个题。

首先离散化。

看到这个坐标轴上左右游走的模型，不难想到区间 dp。

由于需要知道移动的距离，则对于一个状态到另一个状态的转移，需要在状态中记录位置信息。幸运的是，这是好维护的：考虑走完 \([l, r]\)，则此时必然停在左端点处或右端点处。

记 \(f_{l, r, 0/1}\) 表示考虑完区间 \([l, r]\)，此时停在左/右端点的最大权值。

在转移时，考察当前蜡烛对权值的增量，发现需要知道停在此蜡烛时已经过去了多少时间。不幸的是，这实在是无法维护了。

我们先考虑弱化版问题，即蜡烛的长度可以为负数，并且要将所有蜡烛的最终长度计入贡献（即使是负数）。

问题出在蜡烛的减少量无法对每个蜡烛 独立 地进行贡献。那么就采用 整体思想，对于一次移动，发现所有区间外的蜡烛都会减少相同的长度，那么可以在这一步就将这些减少量全部减掉。这本质上是 费用提前计算 的思想。

回到本题，你不能直接将区间外的所有蜡烛都减去这一步走的代价，因为蜡烛的长度不能小于 \(0\)。但是蜡烛的长度等于 \(0\) 时，对答案没有任何贡献，于是可以把这种情况视作这根蜡烛根本就不存在，或者说你并没有选择这根蜡烛计入答案权值。于是一个新的信息呼之欲出：考虑完当前区间后，区间外的蜡烛中还要有多少个被你考虑在内。

记 \(f_{l, r, k, 0/1}\) 表示考虑完区间 \([l, r]\)，停在左/右端点，并且区间外还有 \(k\) 个被计入最终答案权值的蜡烛。

转移的时候枚举当前蜡烛是否被考虑计入答案权值，并只将 \(k\) 个蜡烛减去同一个代价，而不是将所有区间外的蜡烛都减去代价。这样总能保证在最优方案内，把那些讨厌的在移动过程中长度就已经变为 \(0\) 的蜡烛给排除在外。

濒死的红烛未知将来的灭亡，井底之蛙难观自己已陷得多深。诚然，人类并不生活在井里。可他们也曾试图钻入地心，试图认识邃蓝的海洋。下降。而如今，他们甘愿用小男孩的眼泪将这片美丽禁锢，化作他们发光的钻石；黄土坡混杂着浑黑的石粒，黄沙漫天更有高高飘过的白云。没落。

我们如何等待小男孩穿越井下的天空，烧尽泪水的最后一抹余晖。

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